Sur un problème de diffusion inverse dans un demi-espace stratifié : étude de l'opèrateur de Dirichlet-Neumann

An inverse scattering problem in a layered half-space : the dirichlet-neumann operator

• Auteur / Autrice : OLFA DRIRA
• Direction : Ghias Hachem
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 13

Résumé

Dans cette these nous etudions la theorie spectrale inverse dans un demi-espace stratifie. Ce demi-espace = r#2 r*#+ est modelise par un operateur a#0 = + q(z) ou z , r*#+, = #2#z + #, # est le laplacien de r#2 avec la condition de dirichlet sur le bord = r#2. Ce travail comporte les parties suivantes: chapitre 1. Preparatifs-cadre fonctionnel. Chapitre 2. Nous etablissons la theorie spectrale de l'operateur a#0 et sa representation spectrale. Chapitre 3. Nous etablissons le principe d'absorption limite pour a#0, cela nous permet de definir les solutions sortantes du probleme (a#0 #2)u = 0, avec u#|# = f , l#2#8() et montrer leur existence et unicite. Chapitre 4. Nous considerons un operateur a = a#0 + q ou q est dans une classe de potentiels formant un espace de hilbert p. Nous montrons que l'operateur qr(i, a#0) est de hilbert-schmidt. Cela nous permet d'etablir la theorie spectrale de a par des methodes perturbatives. Nous montrons ainsi que #a#c(a) r*#+ et que la resolvante sortante r(#2 + i0, a) existe c'est le principe d'absorption limite. On montre ainsi l'existence et l'unicite de la solution sortante de (a #2)u = 0, u#|# = f , l#2#8(). Cette solution est notee u = u#q#. #f u#q#. #f , b(l#e#8(), w#-#8). Dans le chapitre 5, nous montrons que l'application q u#q est analytique sur p. Nous definissons l'operateur de dirichlet-neumann du probleme. Cet operateur note #q = #1 o u#q ou #1 est la trace de la derivee normale. Nous montrons que q #q est analytique et que sa differentielle d#q operant sur p est a valeurs dans l'espace des operateurs de hilbert-schmidt. Le resultat principal de cette these est l'injectivite de l'operateur d#0 : le linearise de #q au voisinage de 0.