Sur la théorie des corps de classes pour les variétés sur les corps P-adiques

• Auteur / Autrice : Tamás Szamuely
• Direction : Jean-Louis Colliot-Thélène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Soit x une variete propre, lisse, geometiquement integre definie sur un corps p-adique k. Dans cette these, nous etudions le noyau de l'application de reciprocite x : sk 1(x) a b 1(x) de la theorie des corps de classes pour x definie par s. Saito. Admettant que pour l premier le symbole cohomologique k 3(f)/l n h 3(f, 3 l n) est un isomorphisme pour un corps f de dimension cohomologique 4 (cas particulier d'une conjecture et bloch et kato qui est connu pour l = 2), nous montrons que x est injective sur la torsion l-primaire de sk 1(x) si l est premier a p et si x est une surface pour laquelle le groupe de cohomologie l-adique h 2(x,q l) est trivial, donc en particulier si x a potentiellement bonne reduction. En dimension superieure, nous derivons le meme enonce pour une variete avec bonne reduction d'un cas particulier d'une autre conjecture de kato. Nous obtenons egalement des resultats de finitude pour le sous-groupe de torsion de sk 1(x). Les demonstrations reposent sur l'utilisation des complexes motiviques de voevodsky. Dans une deuxieme partie, nous demontrons l'injectivite de x z/n pour n quelconque si x est une surface fibree en coniques au-dessus d'une courbe propre lisse quelconque. La methode, plus elementaire, se sert de la k-theorie des algebres de quaternions et le resultat, inconditionnel, vaut sans hypothese sur la reduction.