Calcul, chaos, modulo

par Pierre Audibert

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Patrick Greussay.

Soutenue en 1998

à Paris 8 .


  • Résumé

    Notre etude porte sur les recurrences modulaires (modulo un nombre entier), en liaison avec l'experimentation sur ordinateur - ce que l'on appelle les mathematiques experimentales. La discretisation forcee et les jeux cycliques imposes par l'ordinateur provoquent en effet deux effets contradictoires. D'une part, ils nous invitent a travailler modulo quatre dans le quadrillage des points de l'ecran. Nous en avons profite pour preciser comment tracer des courbes classiques ou fractales en etablissant un lien entre leur definition geometrique et leur definition linguistique. D'autre part, le passage d'un univers continu et infini dans un cadre discret et fini cree des phenomenes parasites, des interferences que l'on appelle le moire. Nous etudions ce phenomene d'entrelacement de courbes dans le cas d'un faisceau de droites et dans celui de cercles concentriques. Cela nous amene au theme essentiel de notre travail sur les recurrences modulaires : leur caractere periodique et l'organisation des trajectoires suivant un graphe oriente qui se decompose en composantes connexes formees de cycles et d'arborescences. Nous passons des progressions arithmetico-geometriques aux recurrences a base de matrices unimodulaires puis aux recurrences lineaires d'ordre deux, et enfin aux recurrences par elevation au carre. Nous nous interessons a la periode globale du phenomene, puis plus precisement aux periodes des cycles. C'est l'occasion d'observer la sensibilite aux conditions initiales, propre a la theorie du chaos, qui se manifeste des que l'on modifie un parametre, ou que l'on pratique des doubles melanges. La visualisation du graphe des trajectoires, pour des modulo donnes, presente souvent des elements de symetrie que nous expliquons. On aboutit ainsi a ce que nous appelons des portraits de nombres, ou se revelent leurs structures mathematiques sous-jacentes.


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  • Détails : 343 f
  • Annexes : Bibliogr.: f. 337-343

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