Sur quelques aspects algorithmiques et structurels des treillis

• Auteur / Autrice : Karell Bertet
• Direction : Jean-Sébastien Morvan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Cette these est un apport a une etude structurelle et algorithmique des treillis. Nous y presentons tout d'abord une synthese des principaux algorithmes existant sur les treillis. Nous nous interessons ensuite a la classe de treillis obtenus en dupliquant successivement des parties convexes a partir du treillis a deux elements : nous caracterisons ces treillis, caracterisation induisant un algorithme de reconnaissance. Puis nous proposons un algorithme calculant le complete de dedekind-macneille d'un ordre a la demande base sur un codage de l'ordre par un arbre, et une caracterisation du sous-treillis d'un treillis genere par un ensemble d'elements induisant un algorithme efficace. Nous nous interessons par la suite aux extensions faibles d'un ordre. Nous les caracterisons par une bijection avec certains chemins d'un graphe, et nous caracterisons de la meme facon les minimales d'entre elles avec les chemins d'un autre graphe. Dans les deux cas, nous proposons des algorithmes de generation efficaces, puis nous montrons que le nombre d'extensions faibles d'un ordre est un invariant de comparabilite alors que son nombre d'extensions faibles minimales ne l'est pas. Nous considerons egalement la construction du treillis des antichaines maximales en definissant le schema d'elimination d'un treillis qui la decrit en detail. C'est a partir de ce schema d'elimination que nous proposons un codage des treillis modulaires base sur un seul des deux ensembles d'elements irreductibles d'un treillis. Finalement nous decrivons un logiciel que nous avons realise et qui permet d'implanter simplement et rapidement des algorithmes manipulant des ordres et des treillis dans le but de les visualiser sur des exemples, puis nous enumerons les algorithmes deja implantes.