Thèse soutenue

Sur les groupes de reflexions complexes

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Auteur / Autrice : David Bessis
Direction : Michel Broué
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

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Cette these se compose de trois parties independantes. Dans la premiere partie, on s'interesse a la situation suivante. Soit w un groupe de reflexions complexe, soit w un element regulier (au sens de springer) de w. On note w(w) le centralisateur de w dans w. A w et w(w), on peut associer des groupes des tresses generalises, notes respectivement b et b(w). Repondant a une question soulevee par broue-michel, le theoreme principal etablit, sauf dans quelques cas, l'injectivite du morphisme naturel de b(w) vers b. La preuve donnee consiste a se ramener au cas du groupe des tresses d'artin et a utiliser un lemme (du initialement a artin mais apparemment oublie depuis) sur les homotopies entre tresses usuelles. On met egalement en valeur le role du choix du point base et des generateurs standards. La seconde partie est issue d'un travail commun avec cedric bonnafe et raphael rouquier. Il s'agit d'expliquer, par la theorie des invariants, certains morphismes de diagrammes que l'on peut observer sur des tables dues a broue-malle-rouquier. On donne des conditions d'existence de suites exactes, par lesquelles certains groupes de reflexions apparaissent comme extensions d'autres groupes de reflexions par des groupes d'intersection complete. Comme application, on donne de nouvelles presentations pour certains groupes. La construction eclaire la classification de shephard-todd, et devrait s'etendre aux groupes des tresses. La derniere partie a deja paru dans communications in algebra. Il s'agit de montrer que, si w est un groupe de reflexions complexes et si k est le plus petit corps contenant les valeurs du caracteres de la representation naturelle de w, alors tous les caracteres de w sont rationnels sur k. Ce resultat pourrait se deduire d'un resultat de benard sur les indices de schur. Mais comme la preuve de benard repose en partie sur des tables de caracteres erronees, on a prefere donner une preuve independante, ou les calculs necessaires sont effectues sous gap.