Probleme d'ambrosetti-prodi avec exposant critique sur les varietes riemanniennes compactes

• Auteur / Autrice : WENZHI WANG
• Direction : Thierry Aubin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

La these concerne principalement l'existence des solutions multiples du probleme non lineaire suivant u + au = ku ( n + 2 ) / ( n 2 ) + tr(x) in m (p) u > 0 in m u = 0 on m ou m est une variete riemannienne compacte (sans bord ou a bord) de dimension n 3, k et r sont des fonctions non negatives et t un parametre positif. Ce type de probleme est appele le probleme d'ambrosetti-prodi. L'exposant (n + 2)/(n2) est critique au sens de l'inclusion de sobolev : l 2 n / ( n 2 )(m) h 1(m) (ou h 0 , 1(m) si m = ). Puisque cette inclusion est non compacte, la fonctionelle correspondant au probleme ci-dessus ne verifie pas la condition de palais-smale. En consequence, on est en face de grave difficultes si on essaie de resoudre le probleme par la methode variationnelle standard. Dans ce cas, a part d'autre moyens nous avons recours au lemme du col et a des estimations delicates et nous prouvons dans diverses occasions qu'il existe un reel * tel que le probleme (p) n'a aucune solution si t > * ; ne possede qu'une solution si t = * ; possede au moins deux solutions differentes si 0 < t < *. C'est le cas lorsque k est une constante positive et + a = + s, le laplacien conforme suppose coercif. Bien sur on traite des non linearites plus compliquees concernant l'exposant critique de sobolev.