Méthode spectrale multidomaine de viscosité évanescente pour des problèmes hyperboliques non linéaires

• Auteur / Autrice : Laurent Emmel
• Direction : Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Le but de ce travail est l'utilisation des methodes spectrales en multidomaine pour resoudre des equations hyperboliques dont les solutions presentent de forts gradients ou des chocs. L'approximation polynomiale de telles solutions provoque l'apparition du phenomene de gibbs qui conduit generalement, dans le cas non lineaire, a des solutions non entropiques ou a l'instabilite des schemas numeriques. Pour surmonter ce probleme nous ajoutons une faible quantite de viscosite uniquement sur les hauts modes du gradient de la solution. Cette technique, dite de viscosite spectrale evanescente, a ete developpee dans le cadre de l'approximation de fourier, de chebychev et de legendre ; elle est conservative et permet de controler le phenomene de gibbs tout en assurant la precision spectrale (excepte au voisinage de la discontinuite ou une etape de reconstruction est indispensable). Dans les 2 premiers chapitres nous nous placons en dimension 1 d'espace et nous expliquons comment etendre la methode de viscosite evanesente en approximation de legendre au cas multidomaine. Nous decrivons differentes conditions d'interfaces permettant le passage des chocs, pour la convection lineaire, burgers, et le systeme des equations d'euler. Au chapitre iii, nous donnons une formulation variationnelle multidomaine en dimension 2 et nous exposons quelques resultats numeriques pour la dynamique des gaz. Le dernier chapitre est consacre au filtrage. Nous presentons une nouvelle methode basee sur l'approximation rationnelle (elements de pade) et qui permet, connaissant un certain nombre de coefficients de legendre d'une fonction discontinue, de reconstruire cette fonction en eliminant le phenomene de gibbs et en atteignant une precision spectrale pres des discontinuites