Modules differentiels non solubles. Rayons de convergence et indices

• Auteur / Autrice : EMILIE PONS
• Direction : Gilles Christol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Dans sa these, paul young a demontre deux resultats fondamentaux. Le premier est que, si l'on considere un operateur differentiel a coefficients des elements analytiques par exemple sur une couronne, on peut lire les rayons de convergence de ses solutions sur ses coefficients en tout point generique de la couronne lorsque ces rayons sont strictements inferieurs a. R. Son deuxieme resultat est que, sous les memes hypotheses il existe une formule explicite de l'indice generalise. Quant a gilles christol et zoghman mebkhout, ils se sont interesses aux modules differentiels solubles au bord. Ils obtiennent egalement des resultats explicites sur l'indice generalise de ces modules. Pour cela, ils les decomposent selon les pentes du rayon de convergence de leurs solutions et utilisent l'antecedent de frobenius afin de se reduire au cas d'application du theoreme de young. Dans ce travail de these, nous generalisons encore les resultats de young, mais en nous interessant aux modules differentiels a coefficients des elements analytiques sur une couronne r 1, r 2 sans condition de solubilite au bord. Nous demontrons tout d'abord, une conjecture de bernard dwork : le polygone de convergence est logarithmiquement un polygone lorsque le module differentiel est a coefficients des elements analytiques sur une couronne. Nous donnons ensuite un contre-exemple de ce resultat lorsque les coefficients ne sont plus des elements mais des fonctions analytiques. Puis, nous demontrons un theoreme de decomposition selon les variations des rayons de convergence des modules differentiels a coefficients des elements analytiques sur une couronne. Nous demontrons ensuite un theoreme d'indice local puis un theoreme d'indice global. Nous demontrons enfin un theoreme d'existence d'une structure de frobenius pour les isocristaux surconvergents unipotents.