Quelques aspects géométriques et dynamiques du mapping class group

Some geometrical and dynamical aspects of the mapping class group

• Auteur / Autrice : Jérôme Fehrenbach
• Direction : Jérôme Los
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Nice
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
• Jury : Président / Présidente : Michel Merle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Boileau, Jean-Marc Gambaudo, Pierre Lochak
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Joan S. Birman, Martin Lustig

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie

Résumé

Dans le premier chapitre de ce travail, nous rappelons la théorie des représentants efficaces d'un élément pseudo-Anosov du mapping class group d'une surface S compacte orientée munie de n + 1 points marqués. Ces objets ont été introduits par Bestvina-Handel et Los. Le deuxième chapitre contient l'exposé de la théorie des bons représentants et des représentants super efficaces d'un homéomorphisme pseudo-Anosov F fixant le point marqué x₀. Nous montrons ensuite un résultat de structure sur l'ensemble des représentants super efficaces : cet ensemble est une union d'un nombre fini de cycles qui sont parcourus en appliquant des opérations combinatoires. Nous en déduisons des algorithmes permettant de décider si l'homéomorphisme F - ou, ce qui est équivalent, sa classe d'isotopie - admet une racine fixant x₀, ou commute avec un élément d'ordre fini fixant x₀. Nous en déduisons également une nouvelle solution au problème de conjugaison parmi les éléments pseudo-Anosov du mapping class group qui fixent x₀. Dans le troisième chapitre, nous considérons un homéomorphisme F du disque et O une orbite de période n ≥ 3 pour F. Nous donnons une minoration de l'entropie topologique des homéomorphismes isotopes à F relativement à O. Cette minoration est obtenue à l'aide de la théorie des représentants efficaces. Dans le quatrième chapitre, nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une tresse à n brins admette une déstabilisation ou un mouvement d'échange. Ces conditions sont des propriétés sur l'élément du mapping class group induit par la tresse.

Let S be a compact oriented surface equipped with n + 1 distinguished points. In the first chapter of this thesis, we recall the theory of efficient representative for a pseudo-Anosov element of the mapping class group of S. This objects have been introduced by Bestvina-Handel and Los. In the second chapter, we expose the theory of good representatives and super efficient representatives of a pseudo-Anosov map fixing the puncture x₀. We show that the set of super efficient representatives has a special structure: it is a union of a finite number of cycles, the cycles are looped around when applying some elementaty combinatorial operations. We derive from this result algorithms to decide if a given homeomorphism fixing x₀. We also give a new solution to the conjugacy problem among pseudo-Anosov elements of the maping class fixing x₀. In the third chapter, we consider a homeomorphism F of the disk and O a periodic orbit of F of period n ≥ 3. We give a lower bound for the topological entropy of the homeomorphisms isotopic to F relatively to O. This estimation is obtained using the theory of efficien representatives. In the fourth chapter, we give necessary and sufficient conditions for a given n-string braid β to admit a destabilization or an exchange move. These conditions are expressed in terms of the element of the mapping class group induced by the brad β.