Estimation d'erreur pour les lois de conservation scalaires à l'aide d'approches cinétiques, et étude du cas de conditions aux limites

Error estimates for scalar conservation laws by kinetic approaches, and the study of the case of boundary conditions

• Auteur / Autrice : Abdennebi Omrane
• Direction : Jean-Paul Vila
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Nice

Résumé

Cette thèse porte sur les approches cinétiques pour les lois de conservation scalaires multidimensionnelles. On applique la méthode de transport-écroulement de Y. Brenier (aussi T. Miyakawa et Y. Giga), et une deuxième méthode cinétique formulée par le modèle de B. Perthame et E. Tadmor. Déjà, des résultats de convergence ont été obtenus par ces auteurs. Ici, on calcule avec exactitude l’erreur de convergence entre la solution entropique de la loi conservative et la solution approchée fournie par chaque modèle cinétique. Pour ce faire, on utilise la méthode entropique de S. N. Kruzkov et N. N. Kuznetsov. Cette technique se trouve ainsi généralisée aux deux méthodes cinétiques. L’erreur de convergence obtenue est en √δt pour la première méthode de transport-écroulement (où δt représente le pas de temps le long de chaque phase de transport), et elle est de √ε (ε étant la distance moyenne de collision entre deux particules) pour ce qui est du modèle de Perthame-Tadmor. L’estimation d’erreur, globale en temps, est obtenue dans l'espace L1(RN); ce qui est optimal, compte tenu de l’utilisation de la méthode de Kuznetsov. La deuxième partie de cette thèse concerne les conditions aux bords pour les lois de conservation scalaires multidimensionnelles dans le demi-espace, à partir d'un modèle cinétique de Perthame-Tadmor. On montre d'abord que ce modèle est bien posé dans l'espace L∞([0,T];L1(R+ x RN-1 x R)), des estimations BV, et une inégalité d'entropie approchée. Sous une hypothèse supplémentaire, on obtient des conditions aux bords pour la solution entropique. Sous cette même hypothèse et dans le cas d'une donnée maxwellienne, l'ensemble des conditions au bord admissibles est inclu dans l’ensemble des conditions de bord de C. Bardos, A. Y. Leroux et J. C. Nedelec, obtenu à partir de profils visqueux. Pourtant les deux problèmes de Cauchy avec conditions au bord sont équivalents.