Thèse soutenue

Étude topologique des cartes, équations fonctionnelles et énumérations

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Auteur / Autrice : Jean-François Béraud
Direction : Didier Arquès
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Marne-la-Vallée

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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Ce travail est divise en trois parties : apres avoir introduit les notions de cartes pointees topologiques et combinatoires, on presente differentes operations topologiques sur les cartes pointees. Les principales operations traitees sont l'operation topologique de suppression du brin pointe tout d'abord, et ensuite les operations plus complexes d'ouverture du sommet pointe et d'extraction du schema de carte. La deuxieme partie presente en premier lieu les equations que l'on peut obtenir a partir des operations topologiques presentees dans la premiere partie. On montre ensuite diverses enumerations obtenues a partir de ces equations fonctionnelles. En particulier, on enumere les cartes pointees sur la bouteille de klein, puis un certain nombre de familles de cartes pointees considerees independamment du type : orientables, localement orientables, arbres, et enfin hypercartes. Les resultats enumeratifs concernant les cartes independamment du type sont obtenus sous la forme de fractions continues. Ensuite, on applique des methodes simples issues de la combinatoire algebrique pour obtenir des formules d'enumeration pour des familles de cartes independamment du type. On prouve que les series obtenues par cette methode sont solutions des equations topologiques precedentes. Enfin, on observe des liens entre une fonction de bessel modifiee et certaines series generatrices de cartes. Cela nous permet d'obtenir de nouvelles equations differentielles dont les series generatrices des cartes en question (arbres pointes planaires, sur le tore, cartes planaires pointees) sont solutions. La derniere partie presente une librairie maple permettant d'effectuer des calculs liees aux series generatrices de cartes. Cette librairie regroupe la plupart des resultats connus pour les cartes pointees, les divers parametrages utilises dans la litterature, et integre egalement des outils d'investigations. Ces fonctionnalites sont decrites avec des exemples d'utilisation