Fonctions symétriques non commutatives

Noncommutative symmetric functions

• Auteur / Autrice : Bun-Chan-Vorac Ung
• Direction : Jean-Yves Thibon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique fondamentale
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Université de Marne-la-Vallée (1991-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbres non commutatives

Thèses et écrits académiques

Fonctions symétriques

Résumé

Cette these de combinatoire algebrique, est consacree a la recente theorie des fonctions symetriques non commutatives. Ce travail comprend une realisation informatique, la bibliotheque ncsf, et diverses contributions theoriques. L'algebre des fonctions symetriques non commutatives qui possede une structure tres riche, comprenant plusieurs bases, plusieurs multiplications et comultiplications, est en dualite avec l'algebre des fonctions quasi-symetriques. Cette propriete donne de nouvelles bases de l'algebre des fonctions quasi-symetriques, dont nous enoncons les regles de multiplication. Nous introduisons un q-analogue de l'algebre des fonctions quasi-symetriques, l'algebre des fonctions quasi-symetriques quantiques. Nous montrons que cette algebre se plonge dans l'algebre des polynomes quantiques, et nous deduisons des q-analogues de plusieurs identites classiques. Nous donnons egalement une interpretation en termes de representations de la 0-algebre de hecke. Les algebres des fonctions symetriques non commutatives et des fonctions quasi-symetriques etant en dualite, on definit les operateurs quasi-differentiels comme les operateurs adjoints des operateurs de multiplication par un element d'une des deux algebres comme operateurs sur l'autre. Ces operateurs font l'objet d'un chapitre. Les proprietes combinatoires des fonctions symetriques reposent sur la correspondance de robinson-schensted qui a ete generalisee par knuth (correspondance rsk). Ainsi, l'ensemble des tableaux de young est muni d'une structure de monoide, connue sous le nom de monoide plaxique. L'analogue du monoide plaxique pour les fonctions quasi-symetriques est le monoide hypoplaxique. Dans la derniere partie de ce memoire, nous construisons un analogue hypoplaxique de la correspondance de knuth. Cette bijection fournit une preuve combinatoire de l'identite de cauchy non commutative, ainsi que des analogues quasi-symetriques d'identites classiques sur les series de fonctions de schur