Vitesse du recuit simulé vectoriel continu ou discrétisé et algorithmes stochastiques en problèmes inverses bayésiens avec applications à la géophysique

Covergence rates for discretized and diffusion process of annealing and stochastic algoryhms in bayesian inverse problems with application to geophysic

• Auteur / Autrice : David Márquez
• Direction : Marie Duflo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Université de Marne-la-Vallée (1991-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Géophysique

Algorithmes

Processus stochastiques

Recuit simulé (mathématiques)

Résumé

Cette these concerne deux sujets de differentes natures. Le premier sujet, developpe dans les chapitres 1 et 2, aborde le probleme d'optimisation globale d'une fonction dans r#d, pour lequel on a recours a des algorithmes stochastiques du type recuit simule. Des nouveaux resultats asymptotiques sont obtenus pour des algorithmes a temps continu et un nouvel algorithme discretise est propose pour lequel on donne des vitesses precises de convergence. Le second sujet, aborde dans le chapitre 3, concerne les problemes inverses bayesiens et tout particulierement les modeles geophysiques. Des algorithmes stochastiques de chaines de markov sont utilises pour la simulation / maximisation de certaines lois a posteriori et fonctions de vraisemblance, et des resultats pratiques sont presentes sur divers problemes d'estimation en l'imagerie electromagnetique. L'algorithme du recuit simule a ete largement etudie dans differents cadres a temps discret ou continu et pour un espace d'etats discret ou continu. Le premiere chapitre etudie la diffusion non homogene, dite du recuit simule, dont le coefficient de diffusion, representant la temperature, est une fonction qui decroit logarithmiquement vers zero, et le terme de derive est le gradient du potentiel. La convergence en probabilite de cette diffusion vers les minima globaux du potentiel a ete etablie dans nombreux travaux. On precise la vitesse de cette convergence en loi ou en grandes deviations. Ces resultats theoriques peuvent aider a comprendre la dynamique de telles diffusions non homogenes, en vue d'eventuelles methodes d'acceleration. Lorsque l'espace d'etat est discret, nombreux sont les resultats qui assurent la convergence en probabilite de l'algorithme du recuit simule vers l'ensemble des minima globaux du potentiel. Le cas discret permet aussi des resultats precis sur la vitesse de convergence de l'algorithme, a la difference du cas vectoriel ou, a notre connaissance, seulement des bornes asymptotiques ont ete etablies. Le second chapitre propose alors un algorithme qui reduit au cas discret le probleme d'optimisation, avec un recuit simule par palier sur un reseau qui devient de plus en plus fin. L'aspect le plus interessant de cette methode est qu'elle nous permet d'etablir des resultats tant precis qu'asymptotiques pour differents reglages de la temperature et des pas de discretisation