Sur les variétés semi-kählériennes

A semi-kahler manifolds

• Auteur / Autrice : Abderrahim Yachou
• Direction : François Lescure
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Variétés kählériennes

Résumé

Cette these comprend trois parties. Dans la premiere partie, nous nous interessons au probleme de p. Gauduchon pose en 1984 : les metriques semi-kahleriennes sont-elles les seuls points critiques de la l#2-norme de la 1-forme de torsion definie dans l'ensemble des metriques hermitiennes de volume total constant, designe par m#1. Nous repondons positivement a cette question, en montrant de maniere un peu plus generale que ces metriques semi-kahleriennes sont les seuls points critiques de la l#2#r-norme de la 1-forme de torsion dans m#1, ou r est un nombre reel tel que : 1 r m. Dans la deuxieme partie, nous donnons deux caracterisations des metriques standards. La premiere est qu'elles sont les seules qui realisent le minimum de la l#r-norme de la fonction reelle #*<script small v>, lorsque r est un entier pair, definie sur m#1. La deuxieme est qu'elles sont aussi les seules qui realisent le minimum dans une classe conforme de m#1 de la meme fonctionnelle et avec r m. Enfin la derniere partie est consacree a l'etude des varietes parallelisables m = g/t, ou g est un groupe de lie complexe et t un sous-groupe discret de g ; elles sont semi-kahleriennes. Si de plus g est semi-simple, nous montrons que la (m - 1, m - 1)-forme f#m#-#1 est d-exacte. Une des premieres consequences de ce dernier resultat est deja que l'annulation du deuxieme nombre de betti ne saurait etre elementairement une obstruction cohomologique a la semi-kahleriannite comme c'est evidemenent le cas pour la kahleriannite. Comme seconde consequence, on retrouve un resultat ancien demontre par h. Grauret et r. Remmert par une voie toute differente : il n'existe pas d'hypersurfaces complexes (singulieres ou non) dans m = g/t des lors que g est un groupe de lie complexe semi-simple. Enfin une derniere consequence est que le degre associe a tout fibre en droites complexes par p. Gauduchon, est toujours nul.