Étude des résonances pour les équations de Maxwell dans quelques structures

Resonances for the maxwell equations in different structures

• Auteur / Autrice : Natacha Béreux
• Direction : Jean-Claude Nédélec
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Habib Ammari, Alain Bachelot, Alain Bamberger, Abderrahmane Bendali, Martin Costabel, Alain Grigis, Patrick Joly
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Costabel, Patrick Joly

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Maxwell

Problèmes aux limites

Opérateurs intégraux

Fonctions de Green

Résumé

On s'interesse a l'existence et a la caracterisation de resonances pour les equations de maxwell dans plusieurs structures. Ces structures sont obtenues par perturbation d'un substrat constitue d'un plan de masse recouvert d'une couche homogene de dielectrique. La perturbation consiste en l'ajout de lames metalliques infiniment minces a la surface de cette couche et est caracterisee par un petit parametre geometrique, , (correspondant par exemple a la largeur des lames). Ces structures sont invariantes dans une direction, la direction infinie des lames. Si la perturbation consiste en l'adjonction d'une seule lame, on obtient une ligne de transmission (micro-ruban). Si on ajoute une infinite de lames paralleles, periodiquement reparties, on obtient un reseau a fentes, qui est utilise dans la construction d'antennes comme rotateur de polarisation. On se place en regime harmonique et on etudie la diffraction d'une onde plane par ces structures. Les resonances sont les valeurs d'un parametre du probleme (par exemple la frequence) pour lesquelles on n'a pas unicite de la solution des equations de maxwell dans la structure. On recrit le probleme aux limites homogene, verifie par la difference entre deux reponses a une meme onde incidente, sous la forme d'un probleme integral. Ce probleme consiste en un systeme de trois equations integrales couplees, posees sur un (petit) intervalle de la droite reelle. De cette facon, on ramene la recherche des resonances a la determination des valeurs caracteristiques de fonctions a valeurs d'operateurs integraux. Ces fonctions sont meromorphes en le parametre resonnant. On les etudie en utilisant la theorie spectrale mise au point par yu. Shestopalov en s'appuyant sur des resultats mathematiques etablis par gohberg et sigal. On montre ainsi l'existence de resonances complexes proches des resonances de la structure non perturbee (correspondant a = 0), et l'existence de resonances reelles.