Recherche Avancée

Thèse soutenue

Reconstruction tomographique à partir d'un petit nombre de vues

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Auteur / Autrice : Jean-Michel Lagrange
Direction : Robert Azencott
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Résumé

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Cette thèse est consacrée à la reconstruction tomographique d'un objet 3d a partir d'un petit nombre de vues, sous des hypothèses de symétrie. Les inversions classiques étant très instables, j'ai aborde ce problème par une modélisation de l'objet : la reconstruction consiste à déterminer les paramètres du modèle en comparant les projections de ce dernier aux données. L'éclairement étant parallèle, j'ai tout d'abord étudié la reconstruction d'une coupe plane. Le modèle 1d est alors décrit par zones et comporte n paramètres. Leur recherche s'exprime sous la forme de la minimisation sous contraintes d'un critère quadratique. Ce dernier n'étant pas différentiable, j'ai propose trois techniques permettant de le régulariser. J'ai, ensuite, étudié la sensibilité du vecteur paramétré au bruit présent sur les données après avoir déterminé la matrice de covariance de ce vecteur. J'ai enfin propose une reconstruction de toutes les coupes de l'objet par itération de cette approche 1d en ajoutant un terme de lissage entre les coupes. Je me suis ensuite orienté vers la construction d'un modèle 3d des objets, caractérisé par six grandeurs : trois surfaces séparatrices (engendrées par la rotation de trois courbes planes) et les champs de densité sur ces interfaces. La première difficulté a résidé dans le remplissage d'un champ 3d a partir des champs de densité sur les interfaces. J'ai alors propose un operateur elliptique adaptatif assurant cette opération. A interfaces fixées, j'ai implémenté la recherche des densités sur chacune d'elles. J'ai ensuite formalise la déformation de ces surfaces, c'est-a-dire des génératrices planes. Elle est caractérisée par la recherche d'une base optimale des déformations obtenues par ACP sur un jeu d'exemples. Ce jeu est construit de manière aléatoire : les réalisations sont obtenues par intégration de la solution d'une équation différentielle stochastique linéaire.