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Thèse soutenue

Méthodes d'analyse des propriétés d'auto-affinité des processus comportant des composantes spectrales en 1/f

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Auteur / Autrice : Emmanuel Le Tavernier
Direction : Patrice Simard
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Contrôle des systèmes
Date : Soutenance en 1998
Etablissement(s) : Compiègne
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)

Résumé

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Les bruits en 1/f sont des processus stochastiques que l'on observe dans de nombreux phénomènes physiques. Les modèles mathématiques les plus connus sont les mouvements browniens fractionnaires et les bruits gaussiens fractionnaires introduits par Mandelbrot et Van Ness. Ces processus possèdent de nombreuses propriétés telles que la longue dépendance, l'auto-affinité où la régularité de leurs trajectoires. L'objectif de cette thèse est d'étudier les méthodes d'analyse de ces processus. Les approches classiques ont fait l'objet d'une étude et plus particulièrement les méthodes fractales qui évaluent la dimension de ces signaux. L'étude de la méthode de Higuchi a notamment permis de mieux comprendre les bons résultats de cette technique sur certains modèles. Cette thèse propose une nouvelle approche qui consiste à étudier la fonction de structure des signaux. Cette fonction fut introduite par Kolmogorov lors de ses études sur la turbulence et est utilisée dans le domaine multifractal. Il est montré dans ce rapport, que cette fonction suit, dans le cas d'un processus auto-affin, une fonction puissance dont l'exposant dépend du paramètre d'auto-affinité. L'étude de la fonction de structure dans le voisinage de zéro permet aussi d'avoir une idée de la régularité moyenne du signal. L'approche proposée dans ce manuscrit consiste à étudier les lois de puissances contenues dans ces fonctions de structure à l'aide d'une image nommée ''représentation h_alpha''. Cette approche permet d'avoir une étude beaucoup plus souple que celle des techniques classiques. En effet, elle peut être utilisée pour tous signaux, qu'ils soient fractals ou non. En plus elle permet de mettre en évidence les lissages ou les bruitages éventuels qu'ont pu subir les signaux étudiés ainsi que les modèles pouvant être associés à ces signaux tels que les ARMA(p,q) ou fARIMA(p,d,q).