Equations diophantiennes et corps quadratiques

Diophantine equations and quadratic fields

• Auteur / Autrice : Jean-Luc Lesage
• Direction : Éric Reyssat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Caen

Résumé

Les travaux exposes portent sur l'equation : x2+c=yn ou x,y,n,c sont des entiers positifs avec n superieur a 2. Nous rappelons dans la partie i la methode pratique de resolution d'une equation de thue. Dans le chapitre i de la partie ii, pour n=5, nous travaillons sur une famille d'equations ou c n'est pas fixe. Nous considerons l'equation x2+22nd=y5. Sous quelques conditions sur d nous montrons que cette equation n'admet qu'un nombre fini de solutions irreductibles. L'objet des chapitres 2 et 3 est de decrire et de mettre en uvre divers algorithmes pour resoudre l'equation x2+7=yn lorsque n ou y est fixe. Pour n fixe, nous ramenons la resolution de cette equation a celle d'une equation de thue. Nous trouvons des obstructions locales pour chaque premier n compris entre 11 et 1000 excepte 13. Puis nous resolvons les equations de thue correspondant aux cas n=5,7,13. Pour y fixe, nous utilisons des minorations de formes lineaires de logarithmes pour expliciter un majorant de n. Cette borne etant trop grande pour une enumeration systematique, nous donnons un algorithme de reduction pour obtenir un majorant de taille raisonnable. Nous tirons ensuite profit de l'information 2-adique fournie par l'existence d'une solution avec y pair. Nous developpons ainsi un autre algorithme de reduction que nous comparons avec le premier. Nous prouvons ainsi que si (x,y,n) est une solution, alors soit x=1,3,5,11,181, soit x est superieur a 104500. Pour generaliser cette methode, nous definissons dans le chapitre 4 une notion d'ecriture alpha-adique, ou alpha est un entier algebrique quadratique. Nous etudions la finitude de ces developpements en donnant des conditions suffisantes sur alpha pour que tout element de l'ordre engendre par alpha admette une ecriture alpha-adique finie. Dans le cas imaginaire, une condition impliquant les unites distinctes de 1 et -1 apparait.