Conjugaison d'arbres et cartes combinatoires aléatoires

Conjugation of trees and random combinatorial maps

• Auteur / Autrice : Gilles Schaeffer
• Direction : Robert Cori
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cartes aléatoires

Algorithmes

Théorie des graphes

Résumé

Cette thèse présente des algorithmes de génération aléatoire et des résultats d'énumération pour les plongements de graphes ou cartes. Une première partie est consacrée aux cartes planaires. La conjugaison d'arbres y est introduite et permet d'expliquer et de généraliser des résultats d'énumération de W. T. Tutte et d'A. Hurwitz. Dans le même temps, des algorithmes de génération aléatoire uniforme sont obtenus pour des familles élémentaires de cartes. Une méthode d'extraction/rejet permet alors d'étendre de manière significative leur domaine d'application et leur efficacité. En particulier sont traités les cas jusqu'ici inaccessibles des polyèdres convexes et des graphes planaires maximaux. L'étude de la complexité de ces algorithmes fait appel à des méthodes analytiques. Comme premier exemple significatif d'application expérimentale des générateurs, une conjecture sur le diamètre des cartes planaires aléatoires est présentée. Dans une seconde partie les plongements dans les surfaces de genres supérieurs sont abordés. Une bijection permet de donner un codage de ces cartes à l'aide de cartes à une face. Le reste de la thèse est consacré à obtenir des résultats d'énumération, qui unifient les résultats connus pour cette famille.

Random generation algorithms are presented together with enumeration results for combinatorial maps (i. E. Embeddings of graphs in surfaces). The first part is devoted to planar maps. Conjugation of trees is introduced and used to explain and generalize some results of W. T. Tutte and A. Hurwitz. At the same time, uniform random generation algorithms are obtained for some elementary families of maps. Using a new extraction/rejection method, we are then able to extend these generators to a wide range of planar maps, including convex polyhedral and maximal planar graphs, so far unreachable. In order to prove that they are efficient, a combinatorial scheme is introduced and studied, using a two-variable saddle point analysis. As a first significant example of experimental study using these generators, a conjecture is presented on the diameter of random planar maps. The second part of this thesis deals with embeddings in surfaces of higher genus. A correspondence is given using maps with one face. The rest of this thesis addresses the problem of counting the latter maps according to their vertex degree distribution.