Points entiers sur les courbes strictement convexes, sommes de sous-ensembles et codes de recouvrement

Integer points on stictly convex curves, subset-sums and covering codes

• Auteur / Autrice : Alain Plagne
• Direction : Jean-Marc Deshouillers
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Codage

Ensembles convexes

Résumé

Étendant le résultat de Jarník, nous montrons que pour toute fonction X tendant vers l'infini, il est possible de construire une courbe strictement convexe ∁ telle que l'intersection de ∁ et du réseau (1/q ℤ)² contienne plus d'une constante fois q²ʹ³/X(q) éléments, et ceci pour une infinité de valeurs de q. Nous montrons aussi comment, grâce à des méthodes provenant de la théorie analytique des nombres, on peut étendre les travaux de Freiman, sur les sommes de sous-ensembles en dimension 2. Indépendamment, on caractérise très précisément les sous-ensembles de (ℤ/2ℤ)ⁿ ayant un petit double. Enfin, nous nous intéressons aux bornes inférieures pour le cardinal d'un code de rayon de recouvrement donné R dans l'espace Fⁿq. Nous obtenons un grand nombre de nouvelles bornes, améliorant ainsi près de 20% des cas étudiés par la littérature.

Generalizing Jarník's result, we show that for any function x tending to infinity, it is possible to build a strictly convex curve ∁ such that its intersection with the lattice (1/q ℤ)² contains more than a constant times q²ʹ³/X(q) elements for infinitely many q's. We also show how to extend Freiman's work on the two dimensional subset-sum problem. Independently, we characterize very precisely the subsets of (ℤ/2ℤ)ⁿ with a small double set. Finally, we study the lower bounds for the cardinality of covering codes with radius R defined on Fⁿq. We obtain many new lower bounds, improving on almost 20% of the classical cases studied in the literature.