Quelques aspects des séries aléatoires définies par une mesure vectorielle : application aux EDPS

Some aspects of stochastic series defined by a vector measure : applications to SPDE

• Auteur / Autrice : Eric Schrafstetter
• Direction : Marie-France Allain
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Angers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Séries (mathématiques)

Intégrales stochastiques

Mesures vectorielles

Mots clés libres

Mesure aleatoire

Bruit blanc

Pont brownien

Semimartingale

Chaos

Random series

Random measure

Stochastic integral

Hilbert space

Partial differential equation

Stochastic equation

White noise

Brownian bridge

Semimartingale

Résumé

Ce travail de thèse est consacré à l'étude de différentes propriétés de séries aléatoires définies comme images, par une mesure vectorielle, d'une famille d'éléments d'un espace de Hilbert. Dans une première partie, nous donnons des conditions d'existence de mesures stochastiques associées à des processus. Nous développons les cas des séries aléatoires et des approximations par convolution, utiles pour l'étude des EDPS. Lorsque le processus est une P-semimartingale discrète, nous explicitons une décomposition en chaos des différentes mesures stochastiques associées aux puissances du processus. Dans une seconde partie, nous donnons des critères d'existence de moments exponentiels des séries aléatoires définies par une mesure vectorielle. Ces critères sont particulièrement intéressants pour aborder les problèmes de densités des polynômes en plusieurs variables dans les espaces de Hilbert. Nous donnons également des conditions d'existence de modifications continues en fonction de l'espace de Hilbert initial. Nous abordons l'étude de la convergence, en moyenne quadratique, de la variation d'ordre 2 des processus de répartition de ces séries aléatoires. Précisément, nous établissons la convergence vers 0 de celles-ci lorsque l'espace de Hilbert de départ coïncide avec la fermeture du sous-espace vectoriel engendre par la famille d'éléments fixée initialement. Nous montrons que le résultat reste encore valable en enlevant un nombre fini d'éléments à notre famille et faisons apparaitre le pont brownien comme cas particulier nous établissons une formule d'intégration par parties qui permet de généraliser le processus d'Ornstein-Ulenbeck associé au mouvement brownien. Nous terminons par une caractérisation des martingales lexicographiques se décomposant en séries aléatoires.