Multiflots avec (ou sans) contraintes de bonds

Multicommodity flow problems with (or without) jump constraint

• Auteur / Autrice : Yann Vaxès
• Direction : Jean-François Maurras
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1998
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2

Résumé

La notion de flot, est adequate pour modeliser des problemes d'optimisation dans lesquels un seul produit circule sur un reseau en respectant la premiere loi de kirchoff sur chaque nud (la somme des flots qui entrent est egale a la somme des flots qui sortent). Lorsque plusieurs produits coexistent sur le meme reseau et entrent en competition pour l'utilisation des ressources (les capacites des liaisons), on doit utiliser la notion de multiflot. Ces problemes sont beaucoup plus difficiles que les problemes de flot, essentiellement parce que, dans ce cas, on ne sait pas prouver l'existence de solutions optimales entieres. Les applications qui ont motive notre etude proviennent du domaine des reseaux de telecommunications. Dans ce contexte, des contraintes supplementaires apparaissent : les contraintes de bonds. Elles proviennent de considerations de delai et consistent a borner le nombre d'arcs par lesquels transite une communication entre sa source et sa destination. Grace a la technique de generation de colonnes, bien connue en programmation lineaire, nous montrons que l'introduction de ces contraintes ne modifie pas la difficulte des problemes de multiflot. Une part importante du travail realise au cours de cette these concerne la mise en uvre des techniques de partitionnement pour les problemes de multiflot. Ces techniques consistent a specialiser la methode simplex pour tirer profit de la structure de la matrice des contraintes. Ce travail de programmation important a abouti a la realisation d'un solveur lineaire specialise pour les problemes de multiflot. Il s'est avere meilleur qu'un solveur lineaire commercial recent. Ensuite, nous avons generalise le partitionnement aux problemes de multiflots non-simultanes qui trouvent leur application par exemple dans la conception de reseaux resistants aux pannes. Il s'agit a notre connaissance de la premiere implantation des techniques de partitionnement pour resoudre un probleme de multiflots non-simultanes. Nous avons presente une application de notre solveur pour un probleme de dimensionnement de reseaux de donnees que nous avons modelise comme un programme mathematique. Nous avons etabli des proprietes des solutions optimales et nous avons montre comment les utiliser pour reduire les intervalles des valeurs possibles de capacites. Des tests numeriques ont montre qu'en ajoutant ces regles de reductions d'intervalles a une methode classique de branch and bound, on reduit significativement la taille de l'arbre de recherche. Enfin, les contraintes de bonds nous ont pousses a etudier le polyedre des 3-cycles du graphe complet k#n. Nous avons obtenu quelques classes de facettes de ce polyedre. Elles sont suffisantes pour le decrire completement seulement si n ( 7. Nous avons pu montrer que le probleme de separation pour l'une des classes d'inegalites qui definissent une facette est np-complet.