Varietes invariantes degenerees de systemes completement integrables

Degenerate invariant manifolds of some completely integrable systems

• Auteur / Autrice : CHRISTINE MEDAN
• Direction : LUBOMIR GAVRILOV
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

Resume : pour etudier geometriquement un systeme completement integrable, il faut analyser la fibration de son espace des phases. Les composantes (connexes, compactes) des fibres generiques sont des tores qui peuvent degenerer. Les bifurcations qui se produisent alors peuvent etre etudiees si elles sont, en quelque sorte, regulieres, ce qui se traduit par les conditions de bott. Sous cette hypothese, il est possible d'appliquer la theorie de a. Fomenko sur la classification topologique des systemes integrables. Nous donnons d'abord une version des conditions de boit (symetrique par rapport aux integrales premieres). Nous expliquons ensuite la construction des systemes de jacobi-moser-mumford qui sont des systemes integrables lies aux equations de lax en matrices 2 x 2. Une grande quantite de systemes integrables est apparentee aux systemes de jacobi-moser-mumford d'ou l'interet de notre theoreme principal : les systemes de jacobi-moser-mumford verifient les proprietes de bott. Une derniere partie est consacree a une presentation bi-hamiltonienne de la toupie de lagrange. Le deuxieme crochet de poisson s'obtient de deux facons differentes : en prenant le crochet standard des systemes de jacobi-moser-mumford ou bien en utilisant une construction r-matricielle.