Methodes de runge-kutta pour les equations differentielles algebriques d'indice deux et les systemes hamiltoniens

Runge-kutta methods for diferential algebric equation of index two and hamiltonian systems

• Auteur / Autrice : Anne Aubry
• Direction : Michel Crouzeix
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Rennes 1

Résumé

Nous nous interessons a la resolution numerique d'equations differentielles ordinaires possedant des invariants. D'un point de vue general, le probleme est de construire des methodes numeriques preservant au mieux ces invariants. La premiere partie est consacree aux systemes hamiltoniens. Ces systemes sont en fait caracterises par la symplecticite de leur flot, qui est une propriete de conservation des aires. Lorsque le flot numerique satisfait cette propriete, on parle de methodes symplectiques. A part pour des problemes specifiques et des methodes particulieres, les methodes de runge-kutta symplectiques sont necessairement implicites. Nous construisons des methodes de runge-kutta explicites qui miment le comportement des methodes symplectiques, essentiellement par la conservation de la croissance lineaire de l'erreur globale. De telles methodes d'ordre p, doivent etre d'ordre de pseudo-symplecticite 2p, c'est a dire qu'elles preservent la forme symplectique jusqu'a l'ordre 2p. La deuxieme partie est consacree aux equations differentielles algebriques sous forme d'hessenberg d'indice deux. Elle s'articule autour du phenomene de reduction d'ordre. Pour ces problemes, l'ordre de convergence des methodes de runge-kutta est generalement plus faible que lorsqu'elles sont appliquees a une equation differentielle ordinaire. De plus, il varie suivant les composantes et est souvent plus faible pour la composante dite algebrique. Ce phenomene est une consequence de la non preservation des invariants (ici la contrainte et/ou la contrainte cachee). Nous developpons un outil pour generer automatiquement les conditions d'ordre de ces methodes appliquees aux edas d'indice deux. Celui-ci nous permet en outre de denombrer ces conditions. Puis, nous definissons une nouvelle technique pour eliminer le phenomene de reduction d'ordre. Elle concerne les methodes de radau iia et s'inspire des techniques dites de symetrisation. Finalement, une nouvelle version du code radau5 sans reduction d'ordre pour les edas d'indice deux est presentee.