Effectivité en théorie de Galois - sous-résultants

Using galois'theory. Subresultants

• Auteur / Autrice : Lionel Ducos
• Direction : MUSTAPHA RAIS
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Poitiers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul formel

Équations, Théorie des

Galois, Théorie inverse de

Algèbre extérieure

Résumé

Le point initial et central de cette these est l'algebre de decomposition universelle (a. D. U. ) d'un polynome f. Il s'agit d'une algebre commutative libre, engendree par les racines de f provenant d'une factorisation universelle. Une etude mathematique en est realisee dans le chapitre 2. Si le polynome f possede un discriminant inversible, l'a. D. U. Est une algebre galoisienne de groupe s#n ou n est le degre de f. Par consequent, une etude preliminaire des algebres galoisiennes devient obligatoire (chapitre 1). L'implementation de cette algebre fonctionne sur tout anneau commutatif unitaire. Quelques procedures permettront d'effectuer des calculs de polynomes caracteristiques, minimaux et resolvantes, de determiner des relations de dependance algebrique entre les racines du polynome f, etc. Ainsi cette algebre represente a la fois de la matiere mathematique et un outil de calcul formel. Plusieurs applications de l'a. D. U. Sont donnees a la fin du chapitre 2 : calcul du groupe de galois et du corps de decomposition, recherche de premiers totalement decomposes. . . De meme, le chapitre 3 utilise l'a. D. U. Dans le but de donner des formules explicites pour calculer par radicaux les racines d'un polynome resoluble de degre inferieur a 5. Point fort de ce travail, le chapitre 4 concerne la realisation reguliere des groupes produits semi-directs a* g ou a est un groupe abelien fini et g (fini) realise regulierement. La theorie de kummer est a la base de la construction. Enfin, quelques pages independantes de la theorie de galois : le chapitre a reprend l'algorithme de bareiss (calcul du determinant d'une matrice) en developpant un formalisme efficace, donnant naissance a de nouvelles relations de divisibilite euclidienne entre les polynomes sous-resultants et des polynomes quelconques dans un anneau integre (chapitre b). Nous developperons un algorithme optimise calculant la chaine des sous-resultants.