Analyse mathématique d'un modèle biologique régi par un système d'équations de réaction diffusion couplées

Mathematical analysis for a system of coupled reaction-diffusion parabolic equations describing a chemotaxis phenomenon

• Auteur / Autrice : Agnès Boy
• Direction : Monique Madaune-Tort
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles paraboliques

Neumann, Problème de

Équations différentielles elliptiques

Chimiotaxie

Équations aux dérivées partielles

Équations de réaction-diffusion

Biologie -- Modèles mathématiques

Résumé

Cette thèse a pour objet léetude mathématique d'un modèle traduisant un phénomène de chemotaxis. Nous étudions un modèle de Keller et Segel traduisant la migration d'amibes en direction d'une zone ou la concentration en cyclic AMP produit par elles-mêmes est importante. Deux modélisations de ce phénomène sont ici étudiées. La première est un système non linéaire du second ordre constitué de deux équations paraboliques couplées par le terme de transport non linéaire. Le second modèle est formé d'une E. D. P parabolique et d'une E. D. P elliptique également couplées par le terme de transport. Pour le système parabolique associé à des conditions de bord de Neumann homogènes sur le domaine borne régulier de dimension 1, 2, ou 3, on prouve l'existance d'une unique solution locale, bornée. On démontre de plus que, pour un temps T fixé à priori, si la variation des données initiales n'excède pas un seuil dépendant de T, ce système admet une unique solution globale jusqu'au temps T. Pour le système parabolique-elliptique on obtient des résultats liés aux propriétés de la non linéarité présente dans le terme de transport ainsi. En effet, pour une non linéarité convexe, on démontre en dimension un l'existance d'une unique solution globale. En dimension deux ce résultat est obtenu soit pour une valeur moyenne de la densité initiale suffisamment petite soit pour une non linéarité décroissante. On a également ce résultat en dimension trois soit pour une non linéarité décroissante soit pour des conditions de bord de Dirichlet homogènes et pour une valeur moyenne de la densité initiale petite. Si par contre la non linéarité est croissante, la densité initiale à symétrie radiale et sa valeur moyenne suffisamment grande alors la solution explose en temps fini au centre de l'ouvert en dimension 2 et 3.