Questions de théorie spectrale pour des opérateurs différentiels et pseudodifférentiels

Questions in the spectral theory for the differential and pseudodifferential operators

• Auteur / Autrice : Fumitsuna Maruyama
• Direction : Alain Grigis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 13

Mots clés

Mots clés contrôlés

Déterminants (mathématiques)

Hill, Équation de

Théorie spectrale (mathématiques) -- thès

Résumé

La these se compose de trois parties independantes. Chaque partie a un rapport avec la theorie spectrale. Les deux premieres viennent de la mecanique quantique, et la troisieme de l'analyse des operateurs. (1. ) sur la phase geometrique de l'equation de lame perturbee : on considere la perturbation uniforme de l'equation de hill avec une famille de potentiels a nombre fini de gaps. Le potentiel est une fonction elliptique de weierstrass. Cette equation est modele de cristal dans un champ electrique uniforme. L'existence des resonances periodiques au nom des echelles de stark-wannier est connue. On calcule un facteur de la phase geometrique qui est analogue a la phase de berry. On trouve que le facteur se construit en deux parties. (2. ) an electron in a non-uniform external field (un electron dans un champ electrique exterieur non-uniforme) : la deuxieme partie consiste aussi la perturbation de l'equation de hill avec un potentiel a nombre fini de gaps, mais cette fois la perturbation est non-uniforme. En utilisant la methode adiabatique de buslaev-dmitrieva, et un travail de buslaev-grigis, on montre l'existence des resonances comme le cas uniforme, mais la difference est que les resonances ne se placent pas de maniere periodique. (3. ) on positivity of systems of pseudo-differential operators (sur la positivite des systemes des operateurs pseudodifferentiels) : on etudie la positivite des operateurs matriciels differentiels et pseudodifferentiels. On essaye d'appliquer la theorie du determinant dans le cas d'une algebre noncommutative a l'inegalite de garding fine pour des systemes. Une autre maniere, l'action du groupe unitaire est utilisee independantement pour reduire ce probleme.