Thèse soutenue

Tests d'autosimilarite des processus gaussiens. Dimension fractale et dimension de correlation

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Auteur / Autrice : JEAN MARC BARDET
Direction : Didier Dacunha-Castelle
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences et techniques communes
Date : Soutenance en 1997
Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

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Cette these se compose de quatre parties ayant pour denominateur commun la notion de fractalite. La premiere partie est une presentation des systemes dynamiques chaotiques sous la forme d'une revue bibliographique. On s'interesse aux differentes dimensions d'un attracteur et aux exposants de lyapunov. On recense les differents traitements statistiques utilises pour estimer ces donnees, notamment les notions d'exposants de lyapunov locaux et de dimension de correlation. La seconde partie definit et etudie une dimension de correlation dite locale pour les processus stochastiques continus. Cette dimension se determine a partir du comportement asymptotique de la mesure d'occupation d'auto-intersection. On compare cette dimension avec la dimension de hausdorff, et on determine ces deux dimensions dans le cas des champs gaussiens a index. La troisieme partie presente un test d'autosimilarite pour une serie d'observations provenant d'un processus gaussien a accroissements stationnaires. Ce test repose sur l'estimation d'une distance entre le processus considere et un ensemble de processus contenant tous les mouvements browniens fractionnaires. Cette distance est construite a partir d'une double estimation, pour une gamme d'echelles temporelles, de la variance des accroissements du processus. La seconde de ces estimations fait appel a une double estimation du parametre d'autosimilarite par des methodes de regression. Ces estimateurs presentent une vitesse de calcul avantageuse et une grande robustesse en comparaison de l'estimation par maximum de vraisemblance. La quatrieme partie considere un second test d'autosimilarite construit sur le meme principe, mais utilisant l'analyse par ondelettes. La statistique de test est alors une distance entre deux estimations differentes de la variance des coefficients d'ondelettes pour certaines echelles. Deux estimateurs robustes et simples du parametre d'autosimilarite sont encore introduits.