Cristallisation et q-analogues dans la categorie o

• Auteur / Autrice : SHMUEL ZELIKSON
• Direction : ANTONY JOSEPH
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Nous presentons un resume rapide de la theorie de cristallisation pour les modules de dimension finie de l'algebre enveloppante quantifiee u q(g). Nous construisons d'operateurs cristallins sur les modules de verma de u q(g), ayant des proprietes de compatibilite avec la forme de shapovalov et avec la tensorisation a gauche par des modules de dimension finie, generalisant celles des operateurs cristallins sur les modules de dimension finie. En particulier, nous introduisons la classe des semi-cristaux, incluant celle des cristaux, et admettant un produit tensoriel. Les restrictions sur cette construction impliquent qu'elle est probablement unique. Nous demontrons que la generalisation directe aux modules de verma de la construction des bases cristallines de kashiwara est impossible. Il est possible toutefois, de definir des fonctions i, fonctions caracterisant un semi-cristal en tant qu'ensemble, pour ces modules, de maniere compatible avec la tensorisation a gauche par des modules de dimension finie, et les inclusions entre modules de verma correspondant a l'ordre de bruhat faible. Ces fonctions permettent l'introduction de nouveaux q-analogues multiples de la multiplicite, les caracteres cristallins. Les resultats pointent vers l'existence d'une formule de weyl pour ces caracteres. Nous considerons ensuite la construction algebrique par r. K. Brylinsky des q-analogues de lusztig. Ces analogues ne sont connus qu'essentiellement pour les poids dominants d'un module simple de dimension finie. Nous presentons une methode de calcul de ces analogues pour n'importe quel poids se basant sur la l'existence d'une base p. B. W. Special du o-dual d'un module de verma, ainsi que sur la combinatoire du modele de chemins de littelmann. Nous l'appliquons pour calculer les polynomes de brylinsky pour g sl 3. Nous conjecturons que les coefficients de ces polynomes sont invariants sous l'action du groupe de weyl. Nous calculons leur terme principal lorsque g est simplement lacee, ce qui implique dans ce cas la validite de la conjecture pour les u (g) modules simples de dimension finie dont les espaces poids sont de dimension 1.