Entropie configurationnelle des pavages aleatoires et des membranes dirigees

Configurational entropy of random tilings and directed membranes

• Auteur / Autrice : Nicolas Destainville
• Direction : Rémy Mosseri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

L'etude de la stabilite des alliages quasi-cristallins motive celle des pavages aleatoires de losanges et de rhomboedres, qui sont des modeles plausibles de structures quasi-cristallines. Dans ce travail, nous nous sommes limites pour l'essentiel a l'entropie configurationnelle de ces pavages, negligeant ainsi tout aspect energetique. Nous avons dans ce but construit un espace de configurations d'un certain type de pavages aleatoires, dits a bords fixes. Cet espace est l'ensemble des points a coordonnees entieres a l'interieur d'un volume de grande dimensionalite. Sa construction utilise une analogie entre les pavages aleatoires et des objets combinatoires appeles partitions generalisees. Ces objets sont aussi en rapport etroit avec des membranes dites dirigees. Nous avons pu deriver de nombreuses proprietes de cet espace de configurations, en particulier sa decomposabilite en volume elementaires, ce qui permet alors d'ecrire le nombre de configurations comme une somme de coefficients binomiaux. Nous nous sommes egalements interesses a des proprietes dynamiques dans cet espace, en termes de transformations elementaires entre pavages. Ensuite, nous nous sommes attaches a etablir le lien entre ces pavages a bords fixes et des pavages a bords libres, en passant au continu a la limite de grande taille. Ainsi, il apparait que les bords fixes ont un effet fort sur les pavages tout entiers : ils induisent un gradient d'entropie entre leur bord et leur centre. Par contre, nous avons montre que cet effet tend a disparaitre lorsqu'une quantite attachee aux pavages, leur co-dimension, devient grande.