Tests effectifs de nullite dans des extensions d'anneaux differentiels

Effective identity tests in differential ring extensions

• Auteur / Autrice : ARIANE PELADAN GERMA
• Direction : Marc Giusti
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Palaiseau, Ecole polytechnique

Résumé

Cette these traite le probleme suivant : on se donne un nombre fini de series formelles, definies comme unique solution d'un systeme d'equations aux derivees partielles, associees a des conditions initiales, et l'on souhaite pouvoir tester si ces series verifient une equation algebrique differentielle donnee. Ce probleme est fondamental dans le domaine du calcul formel faisant intervenir des fonctions transcendantes. Si l'on ne dispose pas d'un test permettant de decider si deux systemes representent la meme fonction, on ne peut pas pretendre effectivement manipuler les fonctions sous-jacentes. La premiere etape de ce travail fut de trouver une classe de systemes convenable. En effet, on se trouve au voisinage de problemes d'indecidabilite : il existe des systemes d'equations aux derivees partielles, pour lesquels on ne sait pas decider si ils ont des solutions sous forme de series formelles. J'ai generalise un algorithme donne par shackell en 1993. On obtient ainsi une methode tout a fait implantable, permettant de tester qu'un nombre fini de series satisfaisant un nombre fini d'equations aux derivees partielles et un nombre fini de conditions initiales en un point, verifie une relation algebrique differentielle donnee. Puis j'en ai propose une modification qui exploite la notion de localisation en un point, afin de rendre les calculs plus rapides. Par ailleurs, pour le meme probleme, je donne un algorithme utilisant plus completement les techniques specifiques de l'algebre differentielle developpee par ritt et kolchin. Enfin, dans le cas ou l'on considere un systeme d'equations aux derivees partielles associe a des conditions aux limites, on se heurte a un probleme de singularite classique de l'algebre differentielle : le probleme de ritt. De ce fait, je ne donne pas d'algorithme general. Je propose neanmoins une approche permettant de tester un certain nombre de cas d'egalite. M'interessant donc au probleme de ritt, j'ai montre qu'il etait equivalent a un probleme de representation des donnes, a savoir : etant donne un ideal donne par un ensemble caracteristique, comment trouver une base de cet ideal ? enfin, je donne une methode permettant resoudre ceci dans certains cas.