Étude de schémas d'ordre élevé en volumes finis pour des problèmes hyperboliques. Application aux équations de Maxwell, d’Euler et aux écoulements diphasiques disperses

Study of high-order finite volume schemes for hyperbolic problems. Application to the Maxwell system, to the Euler system and to dispersed two-phase flows

• Auteur / Autrice : Sophie Depeyre
• Direction : Bernard Larrouturou
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Physique
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Loula Fezoui, Benoît Perthame, Lionel Sainsaulieu, Jean-Marc Talbot
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Dervieux, Olivier Pironneau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'Euler

Dynamique des fluides

Mathématiques

Écoulement diphasique

Mots clés libres

Sciences et techniques communes, physique

Méthode numérique

Méthode volume fini

Stabilité numérique

Equation dérivée partielle

Equation Maxwell

Equation Euler

Dynamique fluide

Numerical method

Finite volume method

Finite element method

Numerical stability

Partial differential equation

Maxwell equation

Euler equation

Fluid dynamics

Two phase flow

Résumé

Nous nous sommes intéressés à la construction et à l'étude d'une classe de schémas d'ordre trois ou quatre en temps et en espace, basés sur des formulations « β -schémas » de type volumes finis ou éléments finis, pour des maillages bidimensionnels en rectangles ou en triangles. Nous considérons dans un premier temps des problèmes hyperboliques linéaires, comme l'équation d'advection et le système de Maxwell. Une étude de stabilité et de précision, à l'aide des équations équivalentes a été présentée, afin de comparer les schémas et de retenir les plus précis. En particulier, pour le système de Maxwell, une condition nécessaire et suffisante de stabilité a été démontrée pour le schéma décentré d'ordre un, sur un maillage en rectangles. Nous avons aussi proposé une nouvelle formulation du système de Maxwell, en rajoutant un terme de viscosité dans les équations, afin que nos schémas prennent mieux en compte les relations de divergence. Une étude de stabilité a permis de déterminer le paramètre de viscosité n'introduisant aucune contrainte supplémentaire sur le pas de temps, et nous avons montré à l'aide de résultats numériques, pourquoi la nouvelle formulation était meilleure. Dans la deuxième partie, nous nous sommes intéresses à des modèles hyperboliques non linéaires, comme les équations d'Euler. Nous avons cherché à construire des limiteurs d'ordre élevé afin de rendre nos schémas positifs. En particulier, nous avons présenté un nouveau limiteur d'ordre trois, qui s'est avéré stable et robuste, pour des calculs de tube à choc et d'écoulements transsoniques stationnaires. Nous avons finalement considéré un modèle eulérien d'écoulement diphasique, hyperbolique et conservatif, comportant un terme source raide. La méthode classique d'intégration en temps est une méthode de pas fractionnaires ; toutefois, elle comporte plusieurs faiblesses, et nous avons proposé une méthode couplée, qui s'avère plus précise lorsque le rayon des particules devient petit.

The aim of this work is the study and the construction of a class of third or fourth-order time-and-space accurate schemes based on finite volume or finite element formulations, using two-dimensional rectangular or triangular meshes. We have first considered linear hyperbolic models, like the advection equation and the Maxwell system. An analysis of the stability and the modified equations of the schemes has been presented, in order to compare and to draw the most efficient schemes. In the case of the first-order scheme using a rectangular mesh, applied to th Maxwell system, a necessay and sufficient stability condition has been be proved. We also have proposed a constrained formulation of the Maxwell system, in order to better satisfy the divergence conditions. A stability study allowed us to determine an optimum viscosity parameter which does not introduce any restriction on the time-step. Numerical results showed that this new formulation was well-adapted to the numerical conservation of the divergence. In the second part, we have considered non linear hyperbolic problems, like the inviscid Euler equations. We have aimed to construct high-order accurate limiters, in order to obtain positive schemes. We have presented a third-orer accurate limiter, which is shown to be stable and robust, for shock tube tests and transsonic steady flows computations. Finally, we have considered a conservative hyperbolic eulerian two-phase model, where both phases are connected with a source term that may be stiff. A classical way to deal with this is a time-splitting method ; unfortunately, it can lead to poorly accurate solutions, that is why we have proposed a « coupled method », which shows a good behaviour for small values of the particles radius.