Sur les feuilletages de Rolle

On rolle algebraic foliations

• Auteur / Autrice : Frédéric Chazal
• Direction : Robert Moussu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Dijon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Géométrie analytique

Hypersurfaces

Feuilletages (mathématiques)

Résumé

L'objet de ce travail est l'étude de la structure globale et locale d'une classe de feuilletages de codimension un introduite par khovanskii, moussu et roche, les feuilletages de rolle. On s'intéresse en particulier aux feuilletages algébriques et analytiques de rolle. Le premier chapitre est consacre à une étude détaillée des propriétés classiques de l'espace des feuilles. L'étude des feuilletages algébriques de rolle est faite au second chapitre. Nous montrons qu'ils possèdent une structure de produit sur le complémentaire d'un nombre fini de feuilles. Ce résultat ainsi que sa preuve, obtenus dans l'esprit d'une théorie de morse pour les variétés feuilletées suggérée par thom, jouent un rôle central dans ce travail. Nous précisons également la topologie de certaines feuilles et donnons un critère d'existence d'intégrales premières portant sur la topologie de l'espace des feuilles. Le troisième chapitre est une généralisation des résultats obtenus dans le cadre algébrique à une classe de feuilletages de rolle vérifiant certaines hypothèses de finitude. Celle-ci contient les feuilletages analytiques singuliers de rolle sur les variétés compactes. Enfin, un dernier chapitre est dedié à l'étude locale des feuilletages analytiques de rolle au voisinage d'une singularité isolée. Sur un voisinage fixe de la singularité les résultats des premiers chapitres s'appliquent. Mais un problème de germification géométrique se pose : existe-t-il une base de voisinages de la singularité sur chacun desquels le type topologique du feuilletage induit est constant ? Nous ramenons cette question à celle de l'existence d'une fonction tapissante au voisinage de la singularité dont la restriction aux feuilles est de morse. Nous prouvons l'existence d'une telle fonction dans deux cas : en dimension deux et lorsque le feuilletage possédé une intégrale première