Théorème de Lindemann-Weierstrass et déterminants d'interpolation

The Lindemann-Weierstrass theorem and interpolation determinants

• Auteur / Autrice : Alain Sert
• Direction : Michel Laurent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques discrètes
• Date : Soutenance en 1997
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences

Résumé

Apres la preuve par hermite en 1873 de la transcendance de e, lindemann en 1882 esquisse la demonstration du theoreme qui est appele de nos jours le theoreme de lindemann-weierstrass. Ce theoreme affirme que si l'on se donne des nombres complexes lineairement independants sur les rationnels, leurs exponentielles sont des nombres complexes algebriquement independants sur les rationnels. Bien que cet enonce date de 115 ans, il s'agit d'un theme de recherche qui est toujours d'actualite. Plus precisement, nous adaptons au contexte particulier du theoreme de lindemann-weierstrass une nouvelle methode de transcendance due a michel laurent. Pour simplifier, il s'agit de substituer certains determinants a la construction d'une fonction auxiliaire. Cette demarche simplifie grandement les estimations et nous permet d'obtenir des resultats totalement explicites. Nous obtenons ainsi la premiere version entierement effective du theoreme de lindemann-weierstrass. Le plan de ce memoire peut etre decrit comme suit : le premier chapitre est une analyse des methodes qui ont ete utilisees pour etablir le theoreme de lindemann-weierstrass. Il se termine par une nouvelle demonstration de ce theoreme avec des determinants d'interpolation. Dans cette demonstration, nous donnons des lemmes de zeros d'un type nouveau. Le deuxieme chapitre est consacre aux questions d'effectivite. Nous obtenons une minoration ou toutes les constantes sont explicites de la valeur absolue d'un polynome a coefficients algebriques evalue en les exponentielles de nombres algebriques lineairement independants sur les rationnels. C'est ce dernier resultat qui constitue la nouveaute essentielle de ce travail.