Thèse soutenue

Tomographie des variétés singulières et théorèmes de Lefschetz

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Auteur / Autrice : Christophe Eyral
Direction : Denis Cheniot
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences
Date : Soutenance en 1997
Etablissement(s) : Aix-Marseille 1

Mots clés

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Résumé

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Il est classique d'etudier la topologie d'un objet de geometrie algebrique par tomographie, c'est-a-dire en considerant ses sections par des hyperplans paralleles. Le travail que nous proposons dans la these est une etude par tomographie des sous-varietes algebriques de l'espace projectif complexe. Nous examinons d'abord le cas simplifie du complementaire d'un ensemble algebrique projectif. Nous considerons ses sections par les hyperplans d'un pinceau. Nous comparons les groupes d'homotopie de ce complementaire avec ceux d'une de ses sections hyperplans generiques, sur la base de comparaisons (axe du pinceau - hyperplan generique) et (axe - hyperplans exceptionnels du pinceau). Notre theoreme peut servir de base a des raisonnements par recurrence sur la dimension de l'ensemble algebrique dont on considere le complementaire. Par exemple, une recurrence amorcee par un calcul direct explicite dans le cas ou cette dimension est nulle permet de retrouver le theoreme de zariski-lefschetz homotopique classique. Nous etudions ensuite le cas general des varietes quasi-projectives singulieres. Nous demontrons un theoreme sur les pinceaux de sections hyperplanes de la variete analogue a celui du cas d'un complementaire, mais avec des restrictions reliees a la profondeur homotopique rectifiee globale, de la variete (analogue global de la notion de profondeur homotopique rectifiee de grothendieck). Toutefois, cette restriction ne porte que sur la profondeur homotopique rectifiee globale le long d'un certain ensemble fini de points. Puis, par une recurrence amorcee par un calcul direct explicite dans le cas ou la dimension de l'espace projectif ambiant est 1, nous demontrons, grace a ce resultat, un nouveau theoreme du type de lefschetz singulier, generalisant le theoreme de lefschetz singulier de hamm-le et goresky-macpherson.