Optimal control for parabolic semilinear equations: optimal conditions and numerical approximations

Contrôle optimal d'équations paraboliques semilinéaires : conditions d'optimalité et approximation numérique : [thèse en partie soutenue sur un ensemble de travaux]

• Auteur / Autrice : Hasnaa Zidani
• Direction : Jean-Pierre Raymond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Contrôle optimal et équations aux dérivées partielles
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Équations différentielles paraboliques

Commande, Théorie de la

Résumé

Cette these est consacree a l'etude de problemes de controle optimal gouvernes par des equations paraboliques semilineaires. Des resultats d'existence et de regularite d'equations paraboliques sont obtenus pour des conditions limites non lineaires qui ne sont pas necessairement monotones ou lipschitz. Ces resultats reposent sur des estimations pour des semigroupes analytiques et des theoremes de comparaison. Des conditions d'optimalite sous la forme de principes de pontryagin sont ensuite obtenues pour des problemes de controle frontiere en presence de contraintes sur l'etat, et dans ce cas l'etat adjoint est solution d'une equation parabolique avec donnees mesures (dans la condition terminale, les conditions limites et le terme source). On utilise ici une technique de penalisation des contraintes et le principe variationnel d'ekeland. La difficulte essentielle reside dans l'adaptation de ces techniques, developpees jusqu'ici uniquement dans le cas de controles bornes, au cas de controles non bornes. Ces methodes permettent ensuite de caracteriser les solutions de problemes de temps optimal pour des controles distribues (cas de solutions fortes) ou frontiere (cas de solutions faibles). Dans le cas de controles sur la frontiere, la caracterisation est obtenue grace a des resultats de regularite de l'etat adjoint (solution d'une equation parabolique ou la condition finale est une mesure de radon). La derniere partie est consacree a l'approximation numerique de ces problemes. L'equation d'etat est discretisee par une methode d'elements finis en espace et un schema d'euler implicite en temps. Nous obtenons des estimations d'erreur de discretisation qui permettent de montrer l'existence de solutions pour des problemes discretises et d'etudier la convergence de ces solutions vers les solutions du probleme continu