Ondelettes splines à support compact sur une grille irrégulière et approximations numériques stables

Compactly supported splines wavelets on an irregular grid and stable numerical approximations

• Auteur / Autrice : Abdelkebir Amellaoui
• Direction : Pierre Gilles Lemarié
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Ondelettes

Résumé

Le travail de cette thèse constitue une réponse à la conjecture de F. Plantevin (thèse de l'université de Provence, 1992). En observant le phénomène de Gibbs que présente la solution numérique de l'équation de Burgers et la nature de la grille des points représentant les coefficients non négligeables de cette solution, F. Plantevin s'est proposée de construire des ondelettes adaptatives à une telle grille lui permettant de construire une transformée en ondelettes rapide et des algorithmes numériquements stables d'analyse et de synthèse. Pour cause de non invariance par translation et dilatation, le problème de la stabilité n'a pu être résolu. L'alternative que nous présentons à cette construction est basée sur une idée totalement différente: on utilise la technique de commutation entre projecteurs des analyses multi-résolutions bi-orthogonales. Nous avons donc construit une suite d'analyses multi-résolutions sur une grille irrégulière telle que les projecteurs vérifient la propriéte importante de dérivation et primitivation des analyses multi-résolutions bi-orthogonales. Les ondelettes qui découlent de notre construction sont des fonctions splines à support compact. L'invariance par translation et dilatation du problème nous permet d'appliquer le lemme des vaguelettes pour obtenir des estimations dans les espaces fonctionnels et de démontrer la stabilité des algorithmes d'analyse et de synthèse qui découlent de notre construction. Nous avons aussi démontré l'invariance par translation et dilatation des interpolantes de F. Plantevin à partir desquelles nous avons construit les bases duales de nos analyses multi-resolutions. Finalement, nous avons développé et testé les algorithmes d'analyse et de synthèse pour le traitement des singularités.