Le problème ergodique pour l'équation de Hamilton-Jacobi-Bellman et effets régularisant des certaines classes d'équations de Hamilton-Jacobi

• Auteur / Autrice : Mariko Arisawa
• Direction : Pierre-Louis Lions
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Physique
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hamilton-Jacobi, Équations de

Systèmes dynamiques

Théorie ergodique

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse peuvent être regroupés en deux thèmes. 1. Le problème ergodique pour les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B). 2. Les effets régularisants pour une classe d'équations de Hamilton-Jacobi. Le problème ergodique concerne les comportements moyens en temps long de systèmes déterministes ou stochastiques contrôlés. On étudie ici les systèmes déterministes (y compris ceux définis en dimension infinie) et les équations de H-J-B correspondantes, en utilisant la théorie des solutions de viscosité. On établit tout d'abord au chapitre 2 l'ergodicité de systèmes en dimension infinie sous des hypothèses classiques en dimension finie. Puis, on s'intéresse à des conditions nécessaires ou suffisantes permettant d'assurer l'ergodicité de systèmes en dimension finie. Au chapitre 3, on prouve l'existence d'un attracteur ergodique sur lequel le système est contrôlable. Et au chapitre 4, on donne une sorte de réciproque, l'estimation de la contrôlabilité sur l'attracteur ergodique. La contrôlabilité joue également un rôle essentiel dans les effets régularisant des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. On montre au chapitre 5, trois types d'effets régularisants: régularisation lipschitzienne, régularisation semi-concave et régularisation dans c#1#,#1#l#o#c

The work in this dissertation is composed of two themes. 1. The ergodic problem for the Hamilton-Jacobi-Bellman (H-J-B) equations. 2. The regularization effects for some classes of Hamilton-Jacobi equations. The ergodic problem concerns the long-time averaged behavior of the controlled deterministic on stochastic systems. We study here the deterministic system (even in infinite dimensional spaces) and the corresponding H-J-B equations using the viscosity solutions theory. We begin by the research in the infinite dimensional space by establishing the uniqueness and the existence results for H-J-B equations. Under a condition for the Hamilton known in finite dimensional case, the ergodicity of the system is shown. (chapter 2). Next, one motivates to obtain the necessary sufficient condition for the ergodic system, and for this purpose we come back to the study infinite dimensional space. Our response for this question is given by the qualitative the quantitative properties of the system. In chapter 3, we present the existence of the ergodic attraction for the necessary condition which implies the controllability of the system. In chapter4, the precise estimates for the controllability are given as a sufficient condition. The controllability also plays an important role in the regularization effects of the first -order Hamilton-Jacobi equation. We show in chapter 5 three types of regularizations and their mechanisms