Généralisation de la théorie des chirps à divers cadres fonctionnels et applications à leur analyse par ondelette

Generalization of the theory of the chirps in various functional frames and applications to their analysis by wavelet

• Auteur / Autrice : Hong Xu
• Direction : Yves Meyer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse harmonique (mathématiques)

Riemann, Hypothèse de

Ondelettes

Résumé

Cette thèse a pour objet de clarifier une sorte de signal (ou fonction) chirp (un mot anglais, signifiant un pépiement d'oiseaux) en termes de mathématiques. La modélisation de tel signal se fait par l'écrire en un produit de deux fonctions, une fonction joue le rôle de l'amplitude, l'autre mesure la force de l'oscillation. En ce qui concerne cette dernière, on introduit la notion indéfiniment oscillant, on étudiera les propriétés correspondantes, toutes ces études s'appliqueront aux analyses des chirps. Ce travail s'est basé sur celui fait par EL. T. Bouyachi, S. Jaffard, Y. Meyer. Nous généraliserons leurs travaux dans deux directions : 1. Nos études s'effectueront dans les espaces multidimensionnels. 2. L'espace de référence adopté dans notre travail est plus général. Nous généraliserons les espaces deux-micro locaux classiques afin de pouvoir caractériser les chirps plus précisément. Nous appliquerons la technique d'ondelettes aux chirps pour obtenir une description de « l'algorithme de Marseille » en fonction de coefficients d'ondelettes. Cette dernière permet d'établir le lien entre les nouveaux chirps et les espaces deux-micro locaux généralisés. A titre d'une application de la théorie développée ci-dessus, nous nous attaquerons à la fonction de Riemann (généralisée aussi), nous pourrons montrer qu'elle a une structure des chirps aux points réguliers

We are concerned with a sort of signal (or function) called “chirp”. Our object is to describe them in terms of mathematics. We build our model for such signals by writing them in two parts: one part plays a role of the amplitude; the other gives the measurement of the oscillations. For the study of the second part, we introduce a notion called «infinitely oscillated”, and many proprieties related to this notion will be shown. This model is based on the works of EL. T Bouyachi, S. JAffard, Y. Meyer. We will generalize their works in two directions: 1. We are going to do our works in the multidimensional spaces. 2. The space of reference adopted in our works is more general. Firstly, a generation for the classical 2-microlocal space will be presented, since it’s helpful to characterize the chirps more precisely. Then we are going to apply the wavelet techniques to the chirps to obtain a characteristic by means of «the Marseille algorithm”. The latter can be used to find the connections between the chirps and the 2-microlocal analysis (all of them are discussed in a general sense). As an application of the theory developed here, we are going to attack the Riemann’s function (in a general form too), we will be able to prove that it has a chirp’s structure on regular points