Contribution a l'etude de l'integrabilite des equations differentielles et des equations aux differences finies non-lineaires

Contribution to the study of integrability of non-linear differential and finite-difference equations

• Auteur / Autrice : Simon Labrunie
• Direction : Jean-Pierre Gazeau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Physique
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Cette these se compose de deux parties distinctes. Dans la premiere partie, on etudie quelques methodes algebriques et geometriques d'etude des equations differentielles non-lineaires. Pour le systeme de lotka-volterra a trois especes, on en tire une caracterisation des integrales premieres polynomiales et l'absence generique d'autres integrales premieres. Une nouvelle methode de recherche d'integrales premieres est presentee. Elle est fondee sur l'etude geometrique des equations differentielles du second ordre par r. Liouville. La deuxieme partie est consacree a l'etude des equations discretes non-lineaires et a la discretisation des equations differentielles. La demarche suivie est de considerer le discret comme une perturbation du continu. Elle conduit notamment a privilegier une nouvelle methode pour effectuer le test de painleve discret. Pour le probleme de discretisation, une methode heuristique est degagee. Elle fournit des equivalents discrets des systemes de bianchi ix et d'halphen et de l'equation de chazy. Elle explique egalement le role particulier de l'equation mixte ( difference-differential ) d'ablowitz et ladik ainsi que l'absence a ce jour d'une bonne version mixte de l'equation de korteweg-de vries.