Thèse soutenue

Utilisation des fonctions generatrices en geometrie symplectique globale

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Auteur / Autrice : DAVID THERET
Direction : Marc Chaperon
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1996
Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

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Les fonctions generatrices constituent un outil puissant dans l'etude des sous-varietes lagrangiennes et des isotopies hamiltoniennes de certaines varietes symplectiques. Dans l'espace cotangent d'une variete compacte, nous proposons la demonstration complete d'un theoreme important de claude viterbo, affirmant l'unicite des fonctions generatrices quadratiques a l'infini qui engendrent une lagrangienne donnee, isotope a la section nulle. Ce theoreme d'unicite, ainsi que le theoreme d'existence qui lui donne sens, sont etendus aux espaces de contact des jets de fonctions. En utilisant une presentation de l'indice de maslov basee sur les formes quadratiques generatrices, on etudie l'existence d'une infinite de points periodiques pour les isotopies hamiltoniennes des tores. On retrouve un resultat de conley et zehnder dans le cas non-degenere ; et dans le cas general, on etablit un resultat partiel qui s'inspire de ceux etablis dans le probleme des geodesiques periodiques d'une variete riemannienne compacte. Sur l'espace projectif complexe, les fonctions generatrices sont utilisees pour associer aux isotopies hamiltoniennes des invariants ou nombres de rotation, qui possedent des proprietes analogues a celles des capacites construites par c. Viterbo. On retrouve en particulier le theoreme de fortune et weinstein sur l'existence de points fixes