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Thèse soutenue

Quelques problèmes asymptotiques lies à l'équation de Ginzburg-Landau

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Auteur / Autrice : George Lefter Catalin
Direction : Haïm Brézis
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1996
Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

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On étudie quelques problèmes variationnels et asymptotiques liés à l'équation de Ginzburg-Landau. Dans le premier chapitre on considère d'abord quelques problèmes variationnels et on obtient les énergies renormalisées associées. Dans un cas particulier on trouve aussi les formules explicites. Ensuite on définit une énergie renormalisée associée à une application harmonique à valeurs dans la sphère unité. Dans le deuxième chapitre on étudie l'énergie de Ginzburg-Landau avec un poids qui est strictement positif. Les résultats sont similaires à ceux obtenus par F. Bethuel, H. Brezis et F. Helein mais l'énergie renormalisée obtenue est différente. On étudie de plus le comportement des solutions qui ne sont pas des points de minimum. Le cas où le poids s'annule est étudié dans le troisième chapitre. Le comportement asymptotique des minimiseurs est déterminé par la forme du poids autour de son zéro. On distingue les cas où le zéro se trouve à l'intérieur ou sur le bord du domaine. Dans le premier cas le zéro est toujours une singularité à la limite tandis que dans le deuxième on trouve de plus une influence du bord. On obtient le degré du zéro et l'énergie renormalisée qui aide à localiser les autres singularités. Dans le quatrième chapitre on étudie une variante de l'énergie de Ginzburg-Landau ou le deuxième terme à une forme plus générale mais ne dépend pas de la variable de l'espace. Contrairement à ce qu'on s'attendait en tenant compte du troisième chapitre, les résultats sont pareils que dans le cas classique.