Operateurs de transfert sur le decalage a alphabet infini et applications

Transfer operators on the shift of infinite type and applications

• Auteur / Autrice : Xavier Bressaud
• Direction : François Ledrappier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

L'objet de cette these est une etude du sous-decalage de type infini a l'aide d'operateurs de transfert et son utilisation pour l'etude d'autres systemes dynamiques non uniformement hyperboliques. La premiere partie est une etude du sous-decalage de type infini, defini sur une partie invariante de l'ensemble des suites d'entiers. Pour cela, on s'interesse aux operateurs de transfert agissant sur certains sous-espaces vectoriels de l'espace des fonctions scalaires. On introduit une famille d'espaces de banach de fonctions satisfaisant une condition de regularite et une condition de decroissance. Certaines hypotheses sur l'operateur de transfert permettent de garantir sa continuite sur de tels espaces puis de le decomposer en un operateur compact de rayon spectral 1 et un operateur dont le spectre est inclus dans un disque de rayon strictement plus petit que 1. On en deduit l'existence d'une fonction invariante et d'une mesure conforme pour l'operateur. Leur produit est une mesure invariante absolument continue par rapport a la mesure conforme. Sous une condition de melange topologique, on montre que l'operateur n'a qu'une valeur propre de module 1 et qu'elle est simple. Une telle decomposition du spectre permet de conclure que la mesure est ergodique, qu'elle satisfait la propriete de melange faible, et la propriete de melange exponentiel pour certaines classes de fonctions. La theorie des perturbations d'operateurs et des resultats d'inversion de fourier permettent de mettre en evidence des classes de fonctions satisfaisant les theoremes de limite centrale, de limite locale et des resultats de grandes deviations. La deuxieme partie est consacree a l'application des resultats obtenus sur le decalage a l'etude d'autres systemes dynamiques non uniformement hyperboliques: systemes symboliques: le formalisme du decalage se transpose naturellement pour l'etude des chaines de markov ainsi que pour celle des champs de gibbs unidimensionnels. Systemes dilatants a partition infinie: il est standard de coder un systeme dynamique a l'aide d'une partition. Si la partition utilisee est infinie, le decalage correspondant est de type infini. Les resultats de la premiere partie permettent d'ecrire des conditions sur le jacobien du systeme fournissant une decomposition spectrale de l'operateur de perron frobenius, l'existence d'une mesure de probabilite invariante absolument continue, et des theoremes limites sous la mesure invariante. Points critiques: une construction inspiree par l. S. Young permet de conjuguer certaines applications ayant des points critiques a des systemes dilatants a partition infinie auxquels on peut appliquer les resultats obtenus