Polynômes de Bernstein génériques et relatifs associés à une application analytique

Generic and relative Bernstein polynomials associated to analytic mappings

• Auteur / Autrice : Hélène Biosca
• Direction : Philippe Maisonobe
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Nice
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joël Briançon, Michel Merle, Claude Sabbah
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Michel Granger, Jean-Pierre G. Henry

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions analytiques

Surfaces (mathématiques) -- Déformation

Singularités (mathématiques)

Polynômes de Bernstein

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Mathématiques

Espaces conormaux

Résumé

Dans ce travail sont introduits les concepts de polynômes de Bernstein génériques et de polynômes de Bernstein relatifs à une projection, associés à une application analytique dont l'espace but est de dimension quelconque. Nous généralisons certains résultats connus lorsque le but est de dimension un. Nous prouvons l'existence de polynômes de Bernstein génériques pour les déformations à un paramètre et, dans le cas de plusieurs paramètres, pour les déformations d'intersections complètes à singularité isolée, ainsi que pour les applications polynomiales. Notre étude de l'existence des polynômes de Bernstein relatifs est intimement liée à la géométrie de certains espaces analytiques, tels que les conormaux relatifs. Nous relions l'existence d'un polynôme de Bernstein relatif attaché à une déformation d'intersections complètes à singularité isolée à une forte condition d'équisingularité : la constance de la suite μ* des nombres de Milnor des sections planes génériques. Pour les déformations d'hypersurfaces à singularité isolée, nous traduisons la constance de cette suite en termes d'existence de polynômes de Bernstein relatifs et en termes géométriques. Enfin, après avoir défini une notion d'équisingularité pour les applications dont chaque composante est une déformation de courbes planes, nous caractérisons cette équisingularité par des propriétés géométriques, et aussi par l'existence de polynômes de Bernstein relatifs.

In this work we introduce the concepts of generic Bernstein polynomials and relative Bernstein polynomials, associated to analytic mappings whose target space is of any dimension. We generalize certain results known for one-dimensional targets. We prove the existence of generic Bernstein polynomials for one-parameter deformations and, in the case of several parameters, for deformations of islolated complete intersection singularities as well as for polynomial maps. Our study of the existence of relative Bernstein polynomials is intimately connected to the geometry of some analytic spaces, such as relative conormal spaces. We link the existence of relative Bernstein polynomials attached to deformations of isolated complete intersection singularities to a strong equisingularity condition: the sequence μ* of the Milnor numbers of the generic plane sections is constant. For deformations of isolated singularity hypersurfaces, we translate the lack of change in this sequence in terms of the existence of relative Bernstein polynomials and also in geometric terms. Finally, after having defined an equisingularity notion of mappings with each component a deformation of plane curves, we characterize this equisingularity by geometric properties and also by the existence of relative Bernstein polynomials.