Équations fonctionnelles pour une intersection complète quasi-homogène à singularité isolée et un germe semi-quasi-homogène

Functional equations for a weighted homogeneous isolated complete intersection singularity and a semi-quasi-homogeneous germ

• Auteur / Autrice : Hélène Maynadier
• Direction : Joël Briançon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Nice
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
• Jury : Président / Présidente : Michel Merle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Maisonobe, Vicente Navarro Aznar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marc Giusti, Jean-Michel Granger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Singularités (mathématiques)

Polynômes de Bernstein

Équations fonctionnelles

Théorie des D-modules

Mots clés libres

Variété analytique

Résumé

C. Sabbah a démontré l'existence d'équations fonctionnelles pour plusieurs fonctions holomorphes sur une variété analytique complexe, généralisant ainsi la notion de polynôme de Bernstein-Sato. Le but de ce travail est le calcul explicite de telles équations dans les cas où les fonctions sont toutes quasi-homogènes, ou toutes semi-quasi-homogènes, relativement a un système de poids donné, dans un système de coordonnées fixé. La première partie est consacrée à la situation quasi-homogène. Après avoir étudié quelques propriétés des idéaux quasi-homogènes de l'anneau des germes de fonctions holomorphes de plusieurs variables, nous donnons une preuve unique des formules de calcul du nombre de Milnor d'une intersection complète quasi-homogène à singularité isolée, dues respectivement à G. M. Greuel et M. Giusti, inspirée de la méthode d'échange d'équations de ce dernier. Nous calculons ensuite différentes équations fonctionnelles pour une telle intersection complète, sous certaines hypothèses supplémentaires, en montrant qu'il suffit de trouver, pour chaque équation, un idéal quasi-homogène de colongueur finie adapté. Nous prouvons de plus qu'en dimension deux, l’idéal de Bernstein-Sato associé à deux polynômes quasi-homogènes à singularité isolée, définissant l'origine, est principal, et nous déterminons son générateur. Dans la seconde partie, nous nous intéressons aux germes semi-quasi-homogènes ; ce sont des déformations à nombre de Milnor constant des intersections complètes quasi-homogènes à singularité isolée données par les formes initiales de leurs équations. Nous obtenons un algorithme pour construire une équation fonctionnelle vérifiée par une application semi-quasi-homogène telle que toute famille de fonctions extraite soit encore semi-quasi-homogène. La démonstration de ce résultat utilise un théorème de division par un idéal de colongueur finie, avec contrôle des poids, dans l'anneau des germes de fonctions holomorphes.

C. Sabbah has generalized the notion of « Berstein-Sato polynomial » and proved the existence of « functional equations » for several holomorphic functions on a complex analytic manifolds. This work aims to compute explicity such equations when the functions are all weighted homogeneous, or all semi-quasi-homogeneous, relative to a given system of weights, in a fixed system of coordinates. The first part deals with the weighted homogeneous situation. We begin by studying some properties of weighted homogeneous ideals of the ring of germs of holomorphic functions in several variables. Then, using M. Giusti’s equation exchange method, we give a common proof of M. Giusti’s and G. M. Greuel’s formulas, which calculate the Milnor number of a weighted homogeneous equations for such a complete intersection, under certain extra conditions, by establishing that is enough to find, for each equation, a « suitable » weighted homogeneous ideal of finite colength. Furthermore we prove that, in dimension two, the Bernstein-Sato ideal associated with two weighted homogeneous polynomials with isolated singularity, defining the origin, is principal, and we determin its generator. In the second part we study the case of the semi-quasi-homogeneous germs; these are deformations with constant Milnor number of the weighted homogeneous isolated complete intersection singularities given by the initial forms of their equations. We obtain an algorithm to construct a functional equation satisfied by a semi-quasi-homogeneous mapping such that each subfamily of functions is also semi-quasi-homogeneous. The proof of this result uses a theorem for division by an ideal of finite colength, with « control over the weights », in the ring of germs of holomorphic functions.