Thèse soutenue

Cascades d'orbites périodiques en dimension 1 et 2 : hyperbolicité et renormalisation

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Auteur / Autrice : Olivier Courcelle
Direction : Jean-Marc Gambaudo
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1996
Etablissement(s) : Nice
Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Blanchard, Gérard Iooss, Robert S. Mackay
Rapporteur / Rapporteuse : Viviane Baladi, Charles Tresser

Résumé

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Cette thèse est consacrée aux cascades de cycles représentées par les applications de l'intervalle et aux cascades de tresses représentées par les homéomorphismes du disque préservant l'orientation. Dans un premier temps, on s'intéresse aux cascades hyperbolisables, c'est-à-dire aux cascades qui peuvent être représentées de façon hyperbolique par les applications en question. En dimension 1, on montre qu'une cascade de cycles est hyperbolisable si et seulement si elle a un nombre fini de points critiques, c'est-à-dire si elle est représentée par une application de l'intervalle qui a un nombre fini de points critiques. Nos travaux en dimension 1 suggèrent par ailleurs de s'intéresser aux cascades de tresses obtenues en épaississant des cascades de cycles (cascades de tresses épaissies). On donne un critère que vérifie toutes ces cascades de tresses épaissies qui permet de prouver que toutes les cascades de tresses ne sont pas des cascades de tresses épaissies et on espère que la non vérification de ce critère est la seule obstruction à l'hyperbolisabilité d'une cascade de tresses. Dans un second temps, on s'intéresse aux cascades du point de vue de la renormalisation. A une application infiniment renormalisable de l'intervalle ou du disque est naturellement associée une cascade et les opérateurs de renormalisation fonctionnels induisent des opérateurs de renormalisation sur les cascades. On montre qu'une cascade de cycles de dédoublement associée à un point fixe d'un opérateur de renormalisation fonctionnel s'épaissit pour donner une orbite périodique pour les opérateurs de renormalisation sur les cascades de tresses