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Thèse Année : 1996

Rational Series and Length Distributions

Séries rationnelles et distributions de longueurs

Résumé

This work concerns rational series having nonnegative integral coefficients and is centered on two kinds of questions : the star-height problem and the study of the properties of length distributions of codes. We study the star-height problem in the case of rational series of a particular kind : N-rational series in one variable. We characterize in various ways N-rational series having star-height 1. We also give a criterion for deciding the star-height of an important class of N-rational series in one variable. Basically, the study of the star-height of the N-rational series in one variable makes use of the properties of their representations by matrices. We establish in particular, from a result of Handelman, a characterisation of the spectral radius of an irreducible companion matrix having nonnegative integral entries. Next, we study length distributions of circular codes and of prefix codes. We prove three new results about circular codes. We generalize in several directions the characterization of length distributions of circular codes established, by Schützenberger, in the case of a finite alphabet. On the one hand, we replace the finite alphabet by an arbitrary alphabet whose elements are weighted ; this allows us to extend the result to two length distributions. On the other hand, we restrict the conditions which allows us to establish the decidability in the case of a finite sequence. We give a new formulation of this characterization. This result established by combinatorial methods underscores the decidability in the case of a finite distribution. We establish a necessary and sufficient condition for a sequence of nonnegative integers to be the length distribution of a maximal circular code over a finite alphabet. Finally, we emphasize the links between the generating series of rational prefix codes and a class of N-rational series : the DOL-series. We give a sufficient condition for an N-rational sequence to be the length distribution of a maximal rational prefix code over a k-letter alphabet.
Ce travail porte sur les séries à coefficients entiers positifs, sur les séries N-rationnelles et est centré autour de deux types de questions : le problème de la hauteur d'étoile et l'étude des propriétés des distributions de longueurs des codes. On étudie le problème de la hauteur d'étoile de séries rationnelles particulières : les séries N-rationnelles en une variable. On caractérise de différentes façons les séries N-rationnelles qui sont de hauteur d'étoile 1, et on donne un critère permettant de décider de la hauteur d'étoile d'une classe importante de séries N-rationnelles en une variable. L'étude de la hauteur d'étoile des séries N-rationnelles en une variable repose sur l'utilisation des propriétés de leurs représentations par des matrices. On établit, en particulier, à partir d'un résultat d'Handelman, une caractérisation du rayon spectral d'une matrice compagnon irréductible à coefficients entiers positifs. On étudie, ensuite, les distributions de longueurs des codes circulaires et des codes préfixes. On prouve trois nouveaux résultats concernant les codes circulaires. On généralise, dans plusieurs directions, la caractérisation des distributions de longueurs des codes circulaires établie dans le cas d'un alphabet fini par Schützenberger. D'une part, on remplace l'alphabet fini par un alphabet quelconque dont les éléments ont des poids, ce qui permet d'étendre le résultat à deux distributions de longueurs. D'autre part, on restreint les conditions, ce qui permet d'établir la décidabilité dans le cas d'une distribution finie. On donne une nouvelle formulation de cette caractérisation. Ce résultat, établi par des méthodes combinatoires, met en évidence la décidabilité dans le cas d'une distribution finie. On établit une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite d'entiers positifs soit la distribution de longueur d'un code circulaire maximal sur un alphabet fini. Enfin, on met en évidence les liens entre les séries génératrices des codes préfixes rationnels et une classe de séries N-rationnelles : les DOL-séries. On donne une condition suffisante pour qu'une suite N-rationnelle soit la distribution de longueurs d'un code rationnel préfixe maximal sur un alphabet à k lettres.
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Dates et versions

tel-00719366 , version 1 (19-07-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00719366 , version 1

Citer

Frédérique Bassino. Séries rationnelles et distributions de longueurs. Combinatoire [math.CO]. Université de Marne la Vallée, 1996. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00719366⟩
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