Coloration et produits de graphes

Coloring and products of graphs

• Auteur / Autrice : Sylvain Gravier
• Direction : Pierre Duchet, Frédéric Maffray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Recherche opérationnelle
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015)

Mots clés

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Théorie graphe

Coloration graphe

Produit graphe

Graph theory

Graph colouring

Graph product

Résumé

Dans la première partie, nous étudions la notion de coloration par listes. Un graphe d'ordre n est k-liste colorable si, quelque soit la donnée de n listes de taille k (une par sommet), il est possible d'attribuer, à chaque sommet, une couleur de sa liste, de sorte que deux sommets voisins quelconques aient des couleurs différentes. Nous donnons un rappel des différents résultats classiques sur la coloration par liste. Nous abordons l'aspect de la complexité du problème de liste-coloration. Après une étude des différentes constructions utilisées en théorie des graphes (contraction, identification,…), nous donnons un théorème de type Hajós pour la coloration par listes. Enfin, nous terminons cette étude en abordant la conjecture de Vizing par un angle d'attaque nouveau, ce qui nous permet d'obtenir des résultats sur la classe des graphes sans griffe. Dans un second temps, nous traitons l'aspect algorithmique de la coloration, en donnant un algorithme «séquentiel» d'échange chromatique qui nous permet de colorer et de reconnaître deux nouvelles classes de graphes parfaits. Finalement, nous étudions le comportement de certains invariants de graphes via certains produits. Le nombre d'absorpion du produit croisé d'une chaîne et d'une antichaîne est donné, ainsi que certaines valeurs du produit croisé de deux chaînes. Nous proporons une nouvelle approche de la conjecture de Hedetniemi, en étudiant le problème du nombre chromatique du produit fibré (sous-produit du produit croisé). Nous terminons cette étude sur les prdouits, en abordant deux problèmes classiques de recouvrement, l'hamiltonicité et le plongement d'arbres dans l'hypercube. Nous donnons une conditions nécessaire et suffisante pour que le produit croisé de deux graphes hamiltoniens soit hamiltonien. Nous définissons une large classe d'arbres couvrants l'hypercube, et donnons une partition des arêtes de l'hypercube en de tels arbres