Contribution à l'étude des pavages et des surfaces discrétisées

Contribution to the study of tiling and discrete surfaces

• Auteur / Autrice : Laurent Vuillon
• Direction : Gérard Rauzy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences

Résumé

Le but de ce travail est d'une part d'etudier les pavages par une approche basee sur la notion de complexite d'un pavage. Nous considerons les pavages par des losanges provenant de l'approximation de plan ainsi que des pavages ideaux ou tous les motifs possibles apparaissent. D'autre part d'appliquer ces outils pour caracteriser la complexite des surfaces discretisees. Nous etudions dans la premiere partie la classe des pavages construits par approximation de plans. On projette cette surface plissee afin d'obtenir un pavage du plan. Nous definissons la notion de complexite pour un pavage: nous comptons le nombre de motifs apparaissant dans une fenetre triangulaire en fonction de la base de cette fenetre. La combinatoire de ces motifs nous permet de donner la formule explicite du nombre de ces motifs. L'etude du comportement asymptotique des fonctions de complexite constitue la matiere de la deuxieme partie. Nous travaillons sur les pavages ideaux ou tous les motifs triangulaires apparaissent. On peut montrer que la quantite limite quand n tend vers l'infini de logarithme du nombre de motifs triangulaire de base n divise par n au carre existe et sa limite est egale au logarithme de theta. Nous donnons la forme explicite des matrices de transfert qui permettent de trouver le nombre de motifs triangulaires de base n pour un pavage ideal. Nous exploitons alors la structure de ces matrices afin de donner un encadrement de theta. Dans la troisieme partie, nous avons applique ses outils mathematiques a la physique de la matiere condensee. Nous introduisons une nouvelle methode de classement des surfaces discretisees. Nous proposons un modele discret de deposition d'atomes de silicium sur une surface de silicium auquel nous appliquons la methode precedente afin d'etudier la complexite de ces surfaces