Contributions a l'etude des suites et systemes dynamiques substitutifs

Contributions to the study of substitutive sequences and substitutive dynamical systems

• Auteur / Autrice : Fabien Durand
• Direction : B. HOST
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2

Résumé

Une substitution sur un alphabet fini a est un endormorphisme, du monoide libre engendre par a, s'etendant par concatenation a a#n pour lequelle il existe une suite x e a#n telle que (x) = x. Le codage litteral du point fixe d'une substitution est appele suite substitutive. Dans le chapitre i nous introduisons une des notions centrales de cette these: le mot de retour. Le codage des suites substitutives par les mots de retour de permet de definir la notion de suite derivee et de donner la caracterisation suivante: une suite x est substitutive primitive si et seulement si l'ensemble de ses suites derivees est fini. Dans le chapitre ii nous etendons la version substitutive du theoreme de cobham. Soit x une suite qui est le codage litteral des points fixes des substitutions et. Si x est aperiodique alors les valeurs propres dominantes des matrices associees a et sont multiplicativement dependantes. Nous prouvons ensuite un resultat similaire pour les suites definissant le meme langage. Le chapitre iii rappelle des resultats connus explicitant le lien entre substitutions et systemes de numeration et applique les resultats du chapitre precedent aux systemes de numeration. Le chapitre iv est consacre aux systemes dynamiques engendres par des substitutions. Nous precisons un resultat obtenu par a. Forrest: la classe b des systemes de bratteli-vershik stationnaires minimaux est la reunion des systemes de substitutions primitives et des odometres. L'element nouveau apportes par notre preuve est un algorithme de calcul des systemes de bratteli-vershik associes aux systemes de substitutions et un calcul aise de leur groupe de dimension. Nous montrons que la classe b est stable par passage au facteur. Pour cela nous montrons que pour tout systeme de substitution primitive (x,t) il existe une constante d tel que toute chaine de facteurs cantor de (x,t) a une longueur inferieure a d. Le chapitre v etend certains resultars obtenus dans les chapitres precedents a une generalisation des suites substitutives (les suites s-adiques)